מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות ממעלה שניה: הבדלים בין גרסאות בדף

שיטות הפתרון של אי שוויונות ממעלה שניה שיוצגו פה מתבססות על ידי בסיסי מוקדם ב[[חשבון דיפרנציאלי ואיטגרלי]]. הידע הנדרש הוא הכרה (בלבד) של פרבולה (במובן של פונקציה ריבועית).

 

לפתרון אי-שוויונות ממעלה שנייה ישנה טכניקה שונה מהטכניקה לפתרון אי-שוויונות ממעלה ראשונה. הטכניקה לפתרון אי-שוויונות ריבועיים היא לצייר בקירוב גס את הפונקציה (על ציר ה-<math>\;x</math> בלבד- הסבר בהמשך), ולראות מתי היא קטנה או גדולה מאפס. ניקח דוגמה: <br>

לחליפין אם היו שואלים מתי אי-השוויון המפורש (לאחר שפישטנו אותו) גדול מ-0, אזי הפתרון היה <math>\ x>3\ </math> או <math>\ x<1</math>.

 

שלבי הפתרון של אי-שוויון ריבועי:

#מפשטים את אי-השוויון למצב שכל האיברים באגף מסוים.

</center>

 

לעתים מופיעים תרגילים בהם נדרשת הוכחה כי אי-שוויון מסוים מתקיים לכל ערך של איקס, או לא מתקיים עבור אף ערך של איקס וכו'. בסעיף זה נלמד כיצד לפתור שאלות מסוג זה.<br>

מלימודינו בחשבון דיפרנציאלי ראינו כי המקדם של <math>x^2</math> מלמד על צורתה של הפרבולה: ישרה ("מחיכת") או הפוכה ("בוכה/עצובה"). נלמד כעת תכונה נוספת של ביטויים ריבועיים:<BR>

 

כאשר יודעים את המקדם של ה- <math>a</math> של <math>\ x^2</math> ואת הדיסקרימיננטה, ניתן לשרטט (באופן סכמטי, אך אין צורך ביותר מזה) את גרף הפונקציה. שרטוט גרף הפונקציה בעזרת מרכיבים אלו מאפשר לנו להוכיח ולפתור אי-שוויונות מעט יותר מורכבים. דוגמאות:<br><Br>

<BR>

הוכח כי אי-השוויון <math>\ x^2-2x+1 \ge 0</math> מתקיים עבור כל ערך של איקס (ניסוחים אחרים: נכון עבור כל איקס, נכון תמיד, סימון: <math>x\in\mathbb{R}</math>).<BR>

<BR><BR>

 

<BR>

הוכח כי עבור כל ערך של איקס הביטוי <math>\ -x^2+5x-7</math> שלילי. <BR><BR>