חשבון אינפיניטסימלי/גבולות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
CommandoGuard (שיחה | תרומות)
מאין תקציר עריכה
CommandoGuard (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
שורה 1:
<!-- כשהדף כולו יושלם, הוא יהיה גדול מדי וידרוש טעינה ארוכה. לפיכך, כשהוא יושלם, כדאי לחלקו לכמה פרקים נפרדים. -->=מבוא לגבולות=
=מבוא לגבולות=
 
==מציאת משיקים==
שורה 73:
נסתכל על ערכי הפונקציה <math>f\left( x \right) = x^2</math> ליד <math>x=2</math>. אנו רואים מהציור כי ככל ש-<math>x</math> מתקרב ל-2, כך הפונקציה מתקרבת ל-4. נבנה טבלה דומה לזו שראינו קודם עבור ערכי הפונקציה בסביבת <math>x=2</math>:
 
[[תמונה:X^2.PNG|left|thumb|250px|ככל ש-<math>x</math> מתקרב ל-2, <math>f\left( x \right)</math> מתקרבת ל-4.]]
 
{| class="wikitable" border="1"
שורה 207:
'''הגדרה''': נכתוב <math>\lim_{x\rarr a^{-}} f(x)=L</math>
 
ונאמר "הגבול השמאלי של <math>f\left( x \right)</math>, כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math>, שווה ל-<math>L</math>"
 
אם אנחנו יכולים להביא את <math>f\left( x \right)</math> קרובה ל-<math>L</math> ככל שנרצה אם ניקח <math>x</math> קרוב מספיק ל-<math>a</math> וקטן מ-<math>a</math>."
</div>
 
שורה 216:
'''הגדרה''': נכתוב <math>\lim_{x\rarr a^{+}} f(x)=L</math>
 
ונאמר "הגבול הימני של <math>f\left( x \right)</math>, כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math>, שווה ל-<math>L</math>"
 
אם אנחנו יכולים להביא את <math>f\left( x \right)</math> קרובה ל-<math>L</math> ככל שנרצה אם ניקח <math>x</math> קרוב מספיק ל-<math>a</math> וגדול מ-<math>a</math>."
</div>
</div>
שורה 224:
 
גבולות ימנים ושמאליים נקראים '''גבולות חד-צדדיים''' מכיוון שהם גבולות של הפונקציה מצד אחד בלבד.
 
אם נשווה את הגדרה 1 עם הגדרות 2 ו-3, נראה כי המשפט הבא הוא נכון:
 
<div style="text-align: center;">
'''משפט''':<math>\lim_{x \to a}f(x)=L</math> אם ורק אם <math>\lim_{x\rarr a^{-}} f(x)=L</math> וגם <math>\lim_{x\rarr a^{+}} f(x)=L</math>.
</div>
 
משפט חשוב זה ורבים אחרים יוכחו באופן פורמלי כאשר נלמד את ההגדרה המדויקת של הגבול.
 
==גבולות אינסופיים וגבולות באינסוף, אסימפטוטות אנכיות ואופקיות==
 
===גבול אינסופי===
 
נסתכל על הפונקציה <math>f\left( x \right) = \frac{1}{x}</math>. אנו מעוניינים למצוא את הגבול של הפונקציה כאשר <math>x</math> שואף ל-0, כלומר את <math>\lim_{x\rarr 0} 1/x</math>, אם הוא קיים.
 
[[תמונה:Inflimit.PNG|left|thumb|250px|גרף הפונקציה בסביבת <math>x=0</math>]]
 
מגרף הפונקציה, ניכר כי היא עולה באופן חופשי עבור ערכי <math>x</math> המתקרבים לאפס. נאמוד את ערכי הפונקציה עבור ערכי <math>x</math> המתקרבים לאפס:
 
{| class="wikitable" border="1"
! <math>1/x</math>
! <math>x</math>
! <math>1/x</math>
! <math>x</math>
|-
| 1
| 1
| 1-
| 1-
|- bgcolor="#EFEFEF"
| 2
| 0.5
| 2-
| 0.5-
|-
| 10
| 0.1
| 10-
| 0.1-
|- bgcolor="#EFEFEF"
| 100
| 0.01
| 100-
| 0.01-
|-
| 1000
| 0.001
| 1000-
| 0.001-
|- bgcolor="#EFEFEF"
| 10000
| 0.0001
| 10000-
| 0.0001-
|}
 
אנחנו רואים כי ככל ש-<math>x</math> מתקרב לאפס, הפונקציה עולה מצד ימין ויורדת מצד שמאל. היא לא שואפת לאף מספר שהוא, כאשר <math>x</math> שואף לאפס, לא מימין ולא משמאל, ולפיכך הגבול אינו קיים וגם הגבול הימני והשמאלי אינם קיימים. יש לנו סימון מיוחד עבור התנהגות זו של פונקציה והוא:
 
<math>\lim_{x\rarr 0^{+}} 1/x=\infty</math> וכן <math>\lim_{x\rarr 0^{-}} 1/x=-\infty</math>.
 
כלומר, ערכי הפונקציה מימין ל-<math>x=0</math> גדלים יותר ויותר (עולים ללא גבול) ככל ש-<math>x</math> מתקרב לאפס מימין וערכי הפונקציה משמאל ל-<math>x=0</math> קטנים יותר ויותר ככל ש-<math>x</math> מתקרב לאפס משמאל. חשוב לציין כי הסימון <math>\infty</math> מציין כאן כי הפונקציה עולה עד לאינסוף (או <math>-\infty</math> בתחום השלילי). אין לפונקציה הזו גבול. אינסוף הוא אינו מספר. הסימון <math>\lim_{x\rarr 0^{+}} 1/x=\infty</math> הוא סמלי בלבד.
<div style="text-align: center;">
 
 
'''הגדרה''': תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת מימין ומשמאל ל-<math>a</math>, מלבד אולי ב-<math>a</math> עצמו.
 
אזי, נכתוב <math>\lim_{x\rarr a} f(x)=\infty</math> ונאמר "הפונקציה שואפת לאינסוף כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math>"
 
אם אנחנו יכולים להגדיל את ערכי <math>f\left( x \right)</math> ככל שנרצה בכך שניקח ערכי x קרובים מספיק ל-<math>a</math>, אבל לא שווים ל-<math>a</math>.
</div>
 
 
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת מימין ומשמאל ל-<math>a</math>, מלבד אולי ב-<math>a</math> עצמו.
 
אזי, נכתוב <math>\lim_{x\rarr a} f(x)=-\infty</math> ונאמר "הפונקציה שואפת למינוס אינסוף כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math>"
 
אם אנחנו יכולים להקטין את ערכי <math>f\left( x \right)</math> ככל שנרצה בכך שניקח ערכי x קרובים מספיק ל-<math>a</math>, אבל לא שווים ל-<math>a</math>.
</div>
 
 
הגדרות דומות ניתן לתת לגבולות אינסופיים חד-צדדיים (כמו אלו שקיבלנו בדוגמא לעיל).
 
=חוקי הגבולות וכלל הסנדוויץ'=
 
=חוקי הגבולות וכלל הסנדוויץ'=
 
==כלל הסנדוויץ'==
 
=ההגדרה המדויקת של הגבול=