חשבון אינפיניטסימלי/גבולות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
CommandoGuard (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
CommandoGuard (שיחה | תרומות) עוד הרחבה של הערך. |
||
שורה 73:
נסתכל על ערכי הפונקציה <math>f\left( x \right) = x^2</math> ליד <math>x=2</math>. אנו רואים מהציור כי ככל ש-<math>x</math> מתקרב ל-2, כך הפונקציה מתקרבת ל-4. נבנה טבלה דומה לזו שראינו קודם עבור ערכי הפונקציה בסביבת <math>x=2</math>:
[[תמונה:X^2.PNG|left|thumb|250px|ככל ש-<math>x</math> מתקרב ל-2, <math>f\left( x \right)</math> מתקרבת ל-4
{| class="wikitable" border="1"
שורה 130:
[[תמונה:Sinxx.PNG|left|thumb|250px|הפונקציה <math>\frac{{\sin x}}{x}</math>
בסביבת 0
{| class="wikitable" border="1"
שורה 305:
הגדרות דומות ניתן לתת לגבולות אינסופיים חד-צדדיים (כמו אלו שקיבלנו בדוגמא לעיל).
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': הישר <math>x=a</math> יקרא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה <math>y = f\left( x \right)</math> אם לפחות אחת מהטענות הבאות מתקיימת:
<math>\lim_{x\rarr a^{+}} f(x)=\infty</math>, <math>\lim_{x\rarr a^{-}} f(x)=\infty</math>, <math>\lim_{x\rarr a} f(x)=\infty</math>
<math>\lim_{x\rarr a^{+}} f(x)=-\infty</math>, <math>\lim_{x\rarr a^{-}} f(x)=-\infty</math>, <math>\lim_{x\rarr a} f(x)=-\infty</math>
</div>
לדוגמא, ראינו כי לפונקציה <math>f\left( x \right) = \frac{1}{x}</math> יש את האסימפטוטה האנכית <math>x=0</math>, מכיוון שהיא שואפת לאינסוף מימין לאפס ושואפת למינוס אינסוף משמאל לאפס. ניתן לחשוב על אסימפטוטה אנכית כעל ישר המקביל לציר ה-<math>y</math> שאליו הפונקציה שואפת להגיע. בפונקציה שראינו, האסימפטוטה האנכית הייתה ציר ה-y עצמו אך בפונקציות אחרות האסימפטוטה יכולה להיות ישר אחר אשר ניצב לציר ה-<math>y</math>. למשל, עבור הפונקציה <math>g\left( x \right) = \frac{{2}}{{x - 3}}</math> האסימפטוטה האנכית היא הישר <math>x=3</math>, גם באינסוף וגם במינוס אינסוף (נסו להוכיח זאת).
==גבולות באינסוף ואסימפטוטות אופקיות==
הבה נסתכל שוב בפונקציה <math>f\left( x \right) = \frac{1}{x}</math> ובגרף שלה. אנחנו רואים כי הפונקציה שואפת לאינסוף כאשר <math>x</math> הוא חיובי ושואף לאפס וכי היא שואפת למינוס אינסוף כאשר <math>x</math> הוא שלילי ושואף לאפס. אמרנו כי מכיוון שהפונקציה מקיימת את התכונה הזו, הישר <math>x=0</math> הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה. מה לגבי ערך הפונקציה כאשר <math>x</math> שואף לאינסוף או למינוס אינסוף? אנחנו רואים כי הפונקציה שואפת אל ציר ה-<math>x</math>, כלומר אל הישר <math>y=0</math>. נבדוק באמצעות טבלת ערכים:
{| class="wikitable" border="1"
! <math>1/x</math>
! <math>x</math>
! <math>1/x</math>
! <math>x</math>
|-
| 1
| 1
| 1-
| 1-
|- bgcolor="#EFEFEF"
| 0.5
| 2
| 0.5-
| 2-
|-
| 0.1
| 10
| 0.1-
| 10-
|- bgcolor="#EFEFEF"
| 0.01
| 100
| 0.01-
| 100-
|-
| 0.001
| 1000
| 0.001-
| 1000-
|}
אנחנו רואים, נומרית וגרפית, כי ככל שערכי x גדלים, כך ערך הפונקציה קטן ושואף לאפס. הדבר נכון גם עבור ערכי <math>x</math> חיוביים וגם עבור ערכי <math>x</math> שליליים. נכתוב זאת מתמטית באופן הבא:
<math>\lim_{x\rarr \infty}1/x=0</math> וכן <math>\lim_{x\rarr -\infty}1/x=0</math>
כלומר, הגבול של הפונקציה באינסוף הוא אפס והגבול של הפונקציה במינוס אינסוף הוא גם כן אפס. הפונקציה שואפת לישר <math>y=0</math> (ציר ה-<math>x</math>). במצב כזה, אנחנו נקרא לישר <math>y=0</math> אסימפטוטה אופקית.
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': תהי f פונקציה המוגדרת על קטע כלשהו <math>\left( {a,\infty} \right)</math>. אזי, נכתוב:
<math>\lim_{x\rarr \infty}f(x)=L</math>
ונאמר "הגבול של הפונקציה באינסוף הוא <math>L</math>"
אם אנחנו יכולים לקרב את ערכי הפונקציה <math>f\left( x \right)</math> קרוב ככל שנרצה ל-<math>L</math> בכך שניקח ערכי <math>x</math> גדולים מספיק.
'''הגדרה''': תהי f פונקציה המוגדרת על קטע כלשהו <math>\left( { -\infty,a} \right)</math>. אזי, נכתוב:
<math>\lim_{x\rarr -\infty}f(x)=L</math>
ונאמר "הגבול של הפונקציה במינוס אינסוף הוא <math>L</math>"
אם אנחנו יכולים לקרב את ערכי הפונקציה <math>f\left( x \right)</math> קרוב ככל שנרצה ל-<math>L</math> בכך שניקח ערכי <math>x</math> גדולים מספיק ושליליים.
</div>
אסימפטוטה אופקית היא פשוט כינוי לישר <math>y=L</math> באם מתקיים אחד מהתנאים הנ"ל.
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': הישר <math>y=L</math> יקרא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה <math>y = f\left( x \right)</math> אם לפחות אחת מהטענות הבאות מתקיימת:
<math>\lim_{x\rarr \infty} f(x)=L</math>, <math>\lim_{x\rarr -\infty} f(x)=L</math>
</div>
לפי ההגדרה הנ"ל, בפונקציה <math>f\left( x \right) = \frac{1}{x}</math>, הישר <math>y=0</math> מהווה אסימפטוטה אופקית.
[[תמונה:FunctionZeut.PNG|left|thumb|250px|פונקצית הזהות <math>h\left( x \right) = x</math>]]
האם פונקציה חייבת להיות בעלת אסימפטוטות אופקיות? לא. נסתכל, למשל, על פונקצית הזהות <math>h\left( x \right) = x</math>. מגרף הפונקציה, אנו רואים כי כאשר <math>x</math> שואף לאינסוף, גם הפונקציה שואפת לאינסוף. אנו גם רואים כי כאשר <math>x</math> שואף למינוס אינסוף, גם הפונקציה שואפת למינוס אינסוף. אלו הן מסקנות אינטואיטיביות ביותר שכן ערך הפונקציה בכל נקודה שווה לערכו של <math>x</math>. אנחנו מסמנים מקרים זה באופן הבא:
<math>\lim_{x\rarr \infty} h(x) = \lim_{x\rarr \infty} x=\infty</math> וכן <math>\lim_{x\rarr -\infty} h(x) = \lim_{x\rarr -\infty} x=-\infty</math>
ערכי הפונקציה גדלים ככל ש-<math>x</math> הוא חיובי וגדל והם קטנים ככל ש-<math>x</math> הוא שלילי וקטן. היא אינה שואפת לשום ישר. היא פשוט עולה לאינסוף ויורדת למינוס אינסוף. בדוגמה פשוטה זו, מסקנות אלו נראות טריוויאליות אך עבור פונקציות מסובכות יותר, קשה יותר להבחין האם הן מקיימות את התכונות הללו. מקרים אפשריים אחרים הם:
* <math>\lim_{x\rarr \infty} f(x)=-\infty</math>
* <math>\lim_{x\rarr -\infty} f(x)=\infty</math>
נסו למצוא פונקציות אשר מקיימות את התכונות הללו.
סוג נוסף של אסימפטוטות, אסימפטוטות משופעות, הוא מצב בו פונקציה שואפת לישר כלשהו אשר אינו מקביל לא לציר ה-<math>x</math> ולא לציר ה-<math>y</math>. בסוג זה של אסימפטוטות נדון בהרחבה מאוחר יותר בספר זה.
==חוקי הגבולות==
| |||