חשבון אינפיניטסימלי/גבולות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
CommandoGuard (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
CommandoGuard (שיחה | תרומות) מספיק להיום. מחר - כלל הסנדוויץ'. |
||
שורה 409:
==חוקי הגבולות==
עד כה השתמשנו בגרפים ובחישובים מספריים גרידא כדי לחשב גבולות אבל ראינו דוגמה בה שיטות אלו לא בהכרח הובילו לתשובה הנכונה. בזאת מוצגים חוקי הגבולות הבאים, ככלי אמין יותר לחישוב גבולות:
'''חוקי הגבולות''': יהי <math>c</math> קבוע ויהיו הגבולות <math>\lim_{x\rarr a}f(x)</math> ו-<math>\lim_{x\rarr a}g(x)</math> קיימים וסופיים. אזי, מתקיימים החוקים הבאים:
* <math>\lim_{x\rarr a}\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \lim_{x\rarr a}f(x) + \lim_{x\rarr a}g(x)</math>
* <math>\lim_{x\rarr a}\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = \lim_{x\rarr a}f(x) - \lim_{x\rarr a}g(x)</math>
* <math>\lim_{x\rarr a}[cf(x)] = c\lim_{x\rarr a}f(x)</math>
* <math>\lim_{x\rarr a}[f(x)g(x)] = \lim_{x\rarr a}f(x) \cdot \lim_{x\rarr a}g(x)</math>
* <math>\lim_{x\rarr a}\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{\lim_{x\rarr a}{f\left( x \right)}}{{\lim_{x\rarr a}g\left( x \right)}}</math>
החוק החמישי מתקיים '''רק אם''' <math>\lim_{x\rarr a}g(x) \ne 0</math>, על מנת להימנע מחלוקה באפס.
את כל אחד מהחוקים האלו ניתן לנסח במילים. גבול של סכום הוא סכום הגבולות, גבול של מנה הוא מנת הגבולות וכדומה. הגבולות האלו בבירור מתקיימים, אינטואיטיבית. למשל, עבור החוק הראשון, אם <math>f(x)</math> שואפת למספר <math>M</math> ו-<math>g(x)</math> שואפת למספר <math>L</math>, זה נשמע הגיוני שהגבול של סכום הפונקציות שואף ל-<math>L+M</math>. עם זאת, את כולם נדע להוכיח במדויק מאוחר יותר. נציג מס' חוקים נוספים שימושיים.
אם נשתמש בכלל למכפלת גבולות מס' <math>n</math>-י של פעמים כאשר <math>f\left( x \right) = g\left( x \right)</math>, נקבל את הכלל הבא:
* <math>\lim_{x\rarr a}\left[ {f\left( x \right)} \right]^n = [\lim_{x\rarr a}f(x)]^n</math>
כאשר <math>n</math> הוא מספר חיובי שלם.
הכללים הבאים הם כללים בסיסיים אשר ברורים אינטואיטיבית (ציירו את הגרפים של <math>y=c</math> ושל <math>y=x</math> במידה וזה לא נראה ברור):
* <math>\lim_{x\rarr a}c = c</math>
* <math>\lim_{x\rarr a}x = a</math>
קיים גם כלל "הפוך" לכלל השישי שהגדרנו (גבול של פונקציה בחזקה הוא הגבול של הפונקציה כאשר הגבול עצמו הוא בחזקה), להלן:
* <math>\lim_{x\rarr a}\sqrt[n]{{f\left( x \right)}} = \sqrt[n]{\lim_{x\rarr a}f(x)}
</math>
כאשר <math>n</math> הוא מספר חיובי שלם. אם <math>n</math> הוא מספר זוגי, הכלל מתקיים '''רק אם''' <math>\lim_{x\rarr a}f(x) > 0</math>.
'''דוגמה''': חשב את הגבול <math>\lim_{x\rarr 1}\frac{{x^2 - 2x + 4\sqrt[3]{x} - 1}}{{x + 8}}
</math> ,אם הוא קיים.
תשובה: <div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to 1} \frac{{x^3 - 2x^2 + 4x\sqrt[3]{x} - 1}}{{x + 8}} = \frac{{\lim _{x \to 1} \left( {x^3 - 2x^2 + 4x\sqrt[3]{x} - 1} \right)}}{{\lim _{x \to 1} \left( {x + 8} \right)}} =</math>
<math>
= \frac{{\lim _{x \to 1} \left( {x^3 } \right) - \lim _{x \to 1} \left( {2x^2 } \right) + \lim _{x \to 1} \left( {4x\sqrt[3]{x}} \right) - \lim _{x \to 1} 1}}{{\lim _{x \to 1} x + \lim _{x \to 1} 8}} = \frac{{\left( {\lim _{x \to 1} x} \right)^3 - 2\lim _{x \to 1} \left( {x^2 } \right) + 4\lim _{x \to 1} \left( {x\sqrt[3]{x}} \right) - 1}}{{1 + 8}} =</math>
<math> = \frac{{1^3 - 2\left( {\lim _{x \to 1} x} \right)^2 + 4\left[ {\left( {\lim _{x \to 1} x} \right) \cdot \left( {\lim _{x \to 1} \sqrt[3]{x}} \right)} \right] - 1}}{9} = \frac{{ - 2\left( 1 \right)^2 + 4\left( {1 \cdot \sqrt[3]{{\lim _{x \to 1} x}}} \right)}}{9} = \frac{{ - 2 + 4\left( {1 \cdot \sqrt[3]{1}} \right)}}{9} =
</math>
<math> = \frac{{ - 2 + 4}}{9} = \frac{2}{9}</math>
</div>
בחישוב גבול זה, השתמשנו בכל חוקי הגבולות והכללים הנ"ל בשלבי הפתרון השונים. ראוי לציין כי המעבר הראשון (מגבול של מנה למנה של גבולות) נעשה תחת ההנחה שהגבול של המכנה הוא אינו אפס ואילו היינו מקבלים כי הגבול של המכנה הוא אפס, המעבר לא היה נכון והיינו נאלצים לחזור לנקודת ההתחלה ולחפש דרך אחרת לחישוב הגבול.
'''דוגמה''': חשב את הגבול <math>\lim _{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}}</math>, אם הוא קיים.
תשובה: כאן אנחנו נתקלים במכשול קטן. אנו רואים כי אם נשתמש בחוק החמישי לגבולות (גבול של מנה שווה למנת הגבולות) יווצר לנו במכנה גבול שערכו אפס. לפיכך, איננו יכולים להשתמש בחוק זה כאן. במקום זאת, נעשה קצת מניפולציה אלגברית. נשים לב כי <math>\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) = x - 1
</math> ונכתוב:
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \lim _{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \lim _{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt x + 1}}</math>
</div>
כעת אנחנו יכולים להשתמש בחוק החמישי לגבולות.
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\lim _{x \to 1} \left( 1 \right)}}{{\lim _{x \to 1} \left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{1}{{\lim _{x \to 1} \left( {\sqrt x } \right) + \lim _{x \to 1} \left( 1 \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {\lim _{x \to 1} x} + 1}} = \frac{1}{{\sqrt 1 + 1}} = \frac{1}{2}
</math>
</div>
וזהו ערכו של הגבול.
'''דוגמה''': חשב את ערכו של הגבול <math>\lim _{x \to 2} \frac{{\sqrt {x^2 + 4} - 2}}{{x^2 }}</math>, אם הוא קיים.
תשובה: גם כאן אנחנו לא יכולים להשתמש בחוק הגבולות החמישי. כאן המניפולציה האלגברית שנעשה היא סילוק השורש מהמונה.
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to 2} \frac{{\sqrt {x^2 + 4} - 2}}{{x^2 }} = \lim _{x \to 2} \left( {\frac{{\sqrt {x^2 + 4} - 2}}{{x^2 }} \cdot \frac{{\sqrt {x^2 + 4} + 2}}{{\sqrt {x^2 + 4} + 2}}} \right) = \lim _{x \to 2} \left( {\frac{{\left( {\sqrt {x^2 + 4} - 2} \right)\left( {\sqrt {x^2 + 4} + 2} \right)}}{{x^2 \left( {\sqrt {x^2 + 4} + 2} \right)}}} \right) =
</math>
<math> = \lim _{x \to 2} \left( {\frac{{\left( {x^2 + 4} \right) - 4}}{{x^2 \left( {\sqrt {x^2 + 4} + 2} \right)}}} \right) = \lim _{x \to 2} \left( {\frac{{x^2 }}{{x^2 \left( {\sqrt {x^2 + 4} + 2} \right)}}} \right) = \lim _{x \to 2} \frac{1}{{\sqrt {x^2 + 4} + 2}} = \frac{{\lim _{x \to 2} 1}}{{\lim _{x \to 2} \left( {\sqrt {x^2 + 4} + 2} \right)}} =
</math>
<math> = \frac{1}{{\lim _{x \to 2} \left( {\sqrt {x^2 + 4} } \right) + \lim _{x \to 2} 2}} = \frac{1}{{\sqrt {\lim _{x \to 2} \left( {x^2 + 4} \right)} + 2}} = \frac{1}{{\sqrt {\lim _{x \to 2} \left( {x^2 } \right) + \lim _{x \to 2} 4} + 2}} = \frac{1}{{\sqrt {\left( {\lim _{x \to 2} x} \right)^2 + 4} + 2}} =
</math>
<math> = \frac{1}{{\sqrt {2^2 + 4} + 2}} = \frac{1}{{\sqrt {4 + 4} + 2}} = \frac{1}{{\sqrt 8 + 2}}</math>
</div>
מניפולציות אלגבריות שכאלו הן לעיתים הכרחיות כדי להגיע לגבול שאנחנו יכולים לחשב אותו באמצעות חוקי הגבולות.
עד כה חישבנו גבולות באופן מדוקדק לפי חוקי הגבולות, כאשר כל צעד וצעד שעשינו מנומק לפי אחד מחוקי הגבולות שהגדרנו קודם לכן. אבל, מהסתכלות בחישובי הגבולות שעשינו, נוצר הרושם כי מרגע שהגענו לצורה מוגדרת של הגבול ואילך, היינו יכולים פשוט להציב את המספר אליו <math>x</math> שואף אל תוך הגבול באופן מיידי ולקבל את התשובה הנכונה. בעקבות זאת, נראה את הכלל החדש הבא:
*אם <math>f</math> היא פונקציה אלמנטרית המוגדרת בנקודה <math>x=a</math>, אזי מתקיים <math>
\lim _{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)
</math>.
מהי פונקציה אלמנטרית? פונקציה אלמנטרית היא פונקציה אשר ניתן לבנות אותה על ידי הפעולות האריתמטיות הבסיסיות (חיבור, חיסור, כפל, חילוק, הוצאת חזקה ושורש) ופעולת ההרכבה ממספר פונקציות בסיסיות: הפונקציה המעריכית <math>e^x</math>, הפונקציה הלוגוריתמית <math>\log _a x</math>, הפונקציות הטריגונומטריות, הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות, פולינומים והפונקציות ההפוכות לפולינומים (פונקציות שורש, למשל הפונקציה
<math>f\left( x \right) = \sqrt[5]{x}</math>). פונקצית הביסייד, אותה ראינו כשעסקנו בגבולות חד-צדדיים, היא דוגמה לפונקציה לא אלמנטרית. לא ניתן להגדיר אותה עם נוסחה סגורה (כמו שאר הפונקציות בהן עסקנו כאן) ולא משנה כמה ננסה, לא נצליח להגדירה באמצעות הפעולות האריתמטיות הבסיסיות והפונקציות הבסיסיות הנ"ל. נראה בפרק הבא כי פונקציות (לא בהכרח אלמנטריות) אשר מקיימות את התכונה של <math>
\lim _{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)
</math> קרויות פונקציות רציפות וכי יש להן תכונות רבות ומעניינות.
הכלל הבא עוזר לנו לחשב גבולות באינסוף:
* אם <math>r > 0</math> הוא מספר ממשי, אז מתקיים <math>\lim _{x \to \infty} \frac{1}{{x^r }} = 0</math>.
* אם <math>r > 0</math> הוא מספר ממשי כך ש-<math>x^r</math> מוגדר לכל <math>x</math>, אז מתקיים <math>\lim _{x \to -\infty} \frac{1}{{x^r }} = 0</math>.
'''דוגמה''': חשב את ערכו של הגבול <math>\lim _{x \to \infty} \frac{{9x^2 + x - 4}}{{ - 2x^2 + 3x - 10}}</math>, אם הוא קיים.
[[תמונה:Manatpolynomim.PNG|left|thumb|250px|הפונקציה <math>y = \frac{{9x^2 + x - 4}}{{ - 2x^2 + 3x - 10}}</math>]]
תשובה: כאשר <math>x</math> שואף לאינסוף גם המונה וגם המכנה שואפים לאינסוף. בעגה מתמטית, הדבר קרוי גבול מצורה בלתי מוגדרת <math>\frac{\infty}{\infty}</math>. אין זה ברור לאן שואפת המנה כאשר גם המונה וגם המכנה שואפים לאינסוף. כמו בדוגמה הקודמת, בה נתקלנו בצורה הבלתי מוגדרת <math>\frac{0}{0}</math>, גם כאן נצטרך לעשות מעט מניפולציה אלגברית כדי להגיע לגבול שאותו אנו יודעים לחשב. כאן המניפולציה האלגברית הדרושה (וגם בגבולות רבים אחרים באינסוף) היא חלוקת המונה והמכנה שניהם בחזקה הגדולה ביותר של <math>x</math> המופיעה במכנה. לפיכך:
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to a} \frac{{9x^2 + x - 4}}{{ - 2x^2 + 3x - 10}} = \lim _{x \to a} \frac{{\frac{{9x^2 + x - 4}}{{x^2 }}}}{{\frac{{ - 2x^2 + 3x - 10}}{{x^2 }}}} = \lim _{x \to a} \frac{{9 + \frac{1}{x} - \frac{4}{{x^2 }}}}{{ - 2 + \frac{3}{x} - \frac{{10}}{{x^2 }}}}</math>
</div>
כעת אנחנו יכולים להשתמש בכלל לעיל כדי לחשב את הגבול.
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to a} \frac{{9 + \frac{1}{x} - \frac{4}{{x^2 }}}}{{ - 2 + \frac{3}{x} - \frac{{10}}{{x^2 }}}} = \frac{{\lim _{x \to a} \left( {9 + \frac{1}{x} - \frac{4}{{x^2 }}} \right)}}{{\lim _{x \to a} \left( { - 2 + \frac{3}{x} - \frac{{10}}{{x^2 }}} \right)}} = \frac{{\lim _{x \to a} 9 + \lim _{x \to a} \left( {\frac{1}{x}} \right) - \lim _{x \to a} \left( {\frac{4}{{x^2 }}} \right)}}{{\lim _{x \to a} \left( { - 2} \right) + \lim _{x \to a} \left( {\frac{3}{x}} \right) - \lim _{x \to a} \left( {\frac{{10}}{{x^2 }}} \right)}} =
</math>
<math> = \frac{{9 + 0 - 4\lim _{x \to a} \left( {\frac{1}{{x^2 }}} \right)}}{{ - 2 + 3\lim _{x \to a} \left( {\frac{1}{x}} \right) - 10\lim _{x \to a} \left( {\frac{1}{{x^2 }}} \right)}} = \frac{{9 - 4 \cdot 0}}{{ - 2 + 3 \cdot 0 - 10 \cdot 0}} = \frac{9}{{ - 2}} = - 4.5</math>
</div>
הגבול הוא <math>-4.5</math>. שימו לב כי למעשה גילינו כי הישר <math>y=-4.5</math> מהווה אסימפטוטה אופקית לפונקציה באינסוף. הגרף בצד מציג את הפונקציה בתחום <math>\left( { - 100,100} \right)</math>. אנחנו רואים בגרף כי הישר <math>y=-4.5</math> מהווה אסימפטוטה אופקית לפונקציה לא רק באינסוף אלא גם במינוס אינסוף. גם זאת ניתן להוכיח לפי חוקי הגבולות וההוכחה דומה מאוד להוכחה הנ"ל עבור אינסוף.
[[תמונה:Abs.PNG|left|thumb|250px|פונקצית הערך המוחלט בסביבת <math>x=0</math>]]
'''דוגמה''': חשב את ערכו של הגבול <math>\lim _{x \to 0} \left| x \right|</math>, אם הוא קיים.
תשובה: כמו פונקצית הביסייד, גם פונקצית הערך המוחלט היא אינה אלמנטרית. נזכיר כי היא מוגדרת באופן הבא:
<math> | x |=\left\{\begin{matrix} x & & x \ge 0 \\ -x & & x \ge 0 \end{matrix}\right. </math>
לפיכך, אנחנו נאלץ לחשב את הגבולות החד-צדדיים שלה בנקודה <math>x=0</math> ובמידה והם יהיו שווים, יהיה לפונקציה גבול (גם מימין וגם משמאל) בנקודה, גבול סופי.
עבור <math>x>0</math>, מתקיים <math>\left| x \right| = x</math>, לכן:
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to 0^ + } \left| x \right| = \lim _{x \to 0^ + } x = 0</math>
</div>
עבור <math>x<0</math>, מתקיים <math>\left| x \right| = -x</math>, לכן:
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to 0^ - } \left| -x \right| = \lim _{x \to 0^ - } (-x) = 0</math>
</div>
לפיכך, הגבולות החד-צדדיים של הפונקציה בנקודה <math>x=0</math> הם קיימים, סופיים ושווים, לכן:
<math>\lim _{x \to 0} \left| x \right| = 0</math>
גרף הפונקציה מוצג משמאל ונראה שהוא מאשש את מסקנתנו כי הפונקציה שואפת לאפס כאשר <math>x</math> שואף לאפס.
[[Image:Floor function.svg|thumb|left|פונקצית הערך השלם]]
'''דוגמה''': '''פונקצית הערך השלם''' (נקראת גם '''פונקצית רצפה''') היא פונקציה המחזירה לכל מספר ממשי x את המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל-<math>x</math>. הסימון הרווח לפונקציה הוא <math>\lfloor x \rfloor</math>. למשל, <math>\lfloor 2.7 \rfloor = 2</math>, <math>\lfloor -2.1 \rfloor = -3</math>, <math>\lfloor -2 \rfloor = -2</math>. גרף הפונקציה מוצג משמאל. חשב את ערכו של הגבול <math>\lim _{x \to 2} \lfloor x \rfloor</math>, אם הוא קיים.
תשובה: נחשב את הגבולות החד-צדדיים של הפונקציה. מכיוון ש-<math>\lfloor x \rfloor = 2</math> עבור <math>2 \le x < 3</math>, הגבול הימני הוא:
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to 3^ + } \lfloor x \rfloor = \lim _{x \to 3^ + } 3 = 3</math>
</div>
מכיוון ש-<math>\lfloor x \rfloor = 1</math> עבור <math>1 \le x < 2</math>, הגבול השמאלי הוא:
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to 3^ - } \lfloor x \rfloor = \lim _{x \to 3^ - } 2 = 2</math>
</div>
הגבול הימני והגבול השמאלי קיימים וסופיים אך הם אינם שווים, לכן הגבול <math>\lim _{x \to 2} \lfloor x \rfloor</math> אינו קיים.
===קישורים חיצוניים===
* [http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/limcondirectory/LimitConstant.html תרגילים (עם פתרונות מלאים) בחישוב גבולות סופיים (מומלץ)]
* [http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/liminfdirectory/LimitInfinity.html תרגילים (עם פתרונות מלאים) בחישוב גבולות אינסופיים ובאינסוף (מומלץ)]
==כלל הסנדוויץ'==
| |||