חשבון אינפיניטסימלי/גבולות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
CommandoGuard (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
CommandoGuard (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
||
שורה 601:
המשפט נשמע הגיוני. אם פונקציה כלשהי קטנה או שווה לפונקציה אחרת בסביבת <math>x=a</math> כלשהו, אז הגבול שלה קטן או שווה לגבול של הפונקציה האחרת. משפט וזה
שורה 613:
במילים אחרות, אם פונקציה שגבולה לא ידוע חסומה בין שתי פונקציות אחרות שגבולותיהן ידועים ושווים, אז לפונקציה החסומה בהכרח יש גבול והוא שווה לגבול הפונקציות החוסמות. <math>a</math> ו-<math>L</math> יכולים להיות מספר, אינסוף או מינוס אינסוף. בכל מקרה המשפט מתקיים. נראה שתי דוגמאות לשימוש בכלל הסנדוויץ'.
[[תמונה:SqueezeTheorem.JPG|left|thumb|250px|גרפי הפונקציות <math>f(x), g(x), h(x)</math>]]
'''דוגמה''': חשב את ערכו של הגבול <math>\lim _{x \to 0} \left( {x\sin x} \right)</math>, אם הוא קיים.
שורה 619 ⟵ 621:
</math> ומכיוון ששני הגבולות האלו קיימים וסופיים וערכם אפס, גם ערכו של גבול שלנו יהיה אפס. אבל הבה ננסה לחשב את הגבול בדרך אחרת, באמצעות כלל הסנדוויץ'. אם התוצאה תהיה אפס גם בדרך זו, זה יהווה אישוש של נכונות הדרך הקודמת.
ידוע לנו כי פונקצית הסינוס חסומה בין הישרים <math>y=1</math> ו-<math>y=-1</math>, או בכתיב פורמלי: <math> - 1 \le \sin x \le 1</math>. נניח, בלי הגבלת הכלליות, כי <math>x>0</math> ונכפיל את כל אי השיוויון ב-<math>x</math>. נקבל: <math> - x \le x\sin x \le x</math>. לפי הגדרת כלל הסנדוויץ' הנ"ל, אנחנו רואים כי הפונקציות שלנו כאן הן <math>g\left( x \right) = x</math>,
<math>f\left( x \right) = x\sin x</math> ו-<math>h\left( x \right) = - x</math>. נחשב את הגבולות של הפונקציות החוסמות:
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to 0} h\left( x \right) = \lim _{x \to 0} \left( { - x} \right) = 0</math>
<math>\lim _{x \to 0} g\left( x \right) = \lim _{x \to 0} x = 0
</math>
</div>
קיבלנו כי <math>\lim _{x \to 0} h\left( x \right) = \lim _{x \to 0} g\left( x \right) = 0</math>, כנדרש, לכן לפי כלל הסנדוויץ', <math>\lim _{x \to 0} f\left( x \right) = 0</math>. ההוכחה עבור המקרה <math>x<0</math> דומה מאוד. התמונה בצד מציגה את הגרפים של שלושת הפונקציות ומספקת לנו המחשה ויזואלית של כלל הסנדוויץ'.
'''דוגמה''':
| |||