|
פרק זה עוסק בנושא מושג הגבול בחשבון אינפיניטסימלי. הגבול הוא המושג עליו מושתת כל התחום המתמטי הזה והוא מהווה בסיס רב עוצמה אשר יאפשר לנו לפתח דברים רבים על פיו בהמשך. הפרק מתחיל עם רעיונות אינטואיטיביים למושג הגבול ושיטות גרפיות ונומריות לחישובו. בסופו, מובאת ההגדרה המדויקת של הגבול, אבן יסוד בחשבון האינפיניטסימלי, אשר מאפשרת לנו להוכיח טענות מכריעות רבות ולפתח מושגים שונים בהמשך, כדוגמת ה'''נגזרת''' וה'''אינטגרל''' על פיה.
<!-- כשהדף כולו יושלם, הוא יהיה גדול מדי וידרוש טעינה ארוכה. לפיכך, כשהוא יושלם, כדאי לחלקו לכמה פרקים נפרדים. -->=מבוא לגבולות=
הנושאים בפרק זה:</br>
==מציאת משיקים==
* [[חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/מבוא לגבולות]]
* [[חשבון אינפיניטסימלי/ההגדרה הלא מדויקת של הגבול]]
* [[חשבון אינפיניטסימלי/חוקי הגבולות וכלל הסנדוויץ']]
* [[חשבון אינפיניטסימלי/ההגדרה המדויקת של הגבול]]
בתוך תתי-הפרקים מובאים קישורים לתרגולים באתר [http://www.calculus.org calculus.org], מאגר חומרי מידע אינטרנטי בנושא החשבון האינפיניטסימלי. בנוסף לכך, קיימים תרגולים נוספים [[חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/תרגולים|בדף זה]] שמומלץ לעבור עליהם. תשובות לתרגילים בעלי תשובה סופית ניתן למצוא [[חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/תשובות לתרגולים|בדף זה]]. התרגול מומלץ בחום!
משיק לעקום כלשהו מוגדר באופן חופשי כקו אשר נוגע בעקום. במילים אחרות, לקו המשיק יש את אותו הכיוון כמו לעקום בנקודת ההשקה. ברצוננו למצוא הגדרה מדויקת לרעיון הזה. לשם כך, נסתכל על הדוגמה הבאה.
'''דוגמה''': מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה <math>y = x^3</math> בנקודה <math>A\left( {1,1} \right)</math>.
לבסוף, אתם מוזמנים לעבור לפרק הבא: [[חשבון אינפיניטסימלי/רציפות]].
[[תמונה:Tangent.PNG|left|thumb|250px|המחשה גרפית של הפונקציה והישרים]]
נוכל למצוא את משוואת המשיק (המסומן בציור משמאל בצבע ירקרק) אם נדע את שיפועו<math> m</math>. הקושי הוא שיש לנו רק נקודה אחת, הנקודה <math>A</math>, שאנו יודעים שנמצאת על הקו המשיק ואילו כדי לחשב שיפוע, אנו זקוקים לשתי נקודות. אבל, נוכל למצוא קירוב לערכו של השיפוע אם נבחר נקודה <math>B\left( {x,x^3 } \right)</math> אשר קרובה לנקודה <math>A</math> ונמצאת על גרף הפונקציה, ואז נחשב את השיפוע <math>m_{AB}</math> של הקו <math>AB</math> (המסומן בצבע כחול בציור משמאל).
נבחר <math>x \ne 1</math> כדי שלא יווצר מצב שהנקודות<math> A</math> ו-<math>B</math> מתלכדות ואז, נקבל:
<math>m_{AB} = \frac{{x^3 - 1}}{{x - 1}}</math>
נבחר, למשל, את B להיות <math>B\left( {2,2^3 } \right)</math>, כלומר <math>B\left( {2,8} \right)</math>. תחת הבחירה הזו, נקבל:
<math>m_{AB} = \frac{{8 - 1}}{{2 - 1}} = 7</math>
הטבלה הבאה מראה ערכים שונים של השיפוע <math>m_{AB}</math>, ככל ש-<math>x</math> מתקרב ל-1, כלומר הנקודה <math>B</math> מתקרבת לנקודה <math>A</math>, מימין או משמאל.
{| class="wikitable" border="1"
! <math>m_{AB}</math>
! <math>x</math>
! <math>m_{AB}</math>
! <math>x</math>
|-
| 1
| 0
| 13
| 3
|- bgcolor="#EFEFEF"
| 1.75
| 0.5
| 7
| 2
|-
| 2.44
| 0.8
| 4.75
| 1.5
|- bgcolor="#EFEFEF"
| 2.71
| 0.9
| 3.31
| 1.1
|-
| 2.9701
| 0.99
| 3.0301
| 1.01
|- bgcolor="#EFEFEF"
| 2.997001
| 0.999
| 3.003001
| 1.001
|}
ממבט בטבלה, נוצר הרושם שככל ש-<math>x</math> מתקרב ל-1, מתקרב השיפוע <math>m_{AB}</math> ל-3. לפיכך, ננחש כי השיפוע של הקו המשיק <math>AB</math> הוא <math>m=3</math>. אנו נאמר כי השיפוע של המשיק הוא ''גבול'' השיפוע של הישר <math>AB</math> ונכתוב זאת מתמטית באופן הבא:
<math>\lim_{B \to A}m=m_{AB}</math> וכן <math>\lim_{x \to 1}
\frac{{x^3 - 1}}{{x - 1}} = 3
</math>.
בהנחה והשיפוע של המשיק הוא אכן 2, משוואת הישר תהיה:
<math>y - 1 = 3\left( {x - 1} \right)</math>, כלומר <math>y = 3x - 2</math>.
=ההגדרה הלא מדויקת של הגבול=
ראינו שגבולות צצים כאשר אנחנו מעוניינים לחשב את המשיק לפונקציה. אין זה מקרי. אנחנו נראה כי למעשה כל מה שנפתח מעתה ואילך יתבסס על מושג הגבול. בפרק זה ניתן הגדרה לא מדויקת למושג הגבול ונפתח שיטות נומריות וגרפיות לחישובו.
נסתכל על ערכי הפונקציה <math>f\left( x \right) = x^2</math> ליד <math>x=2</math>. אנו רואים מהציור כי ככל ש-<math>x</math> מתקרב ל-2, כך הפונקציה מתקרבת ל-4. נבנה טבלה דומה לזו שראינו קודם עבור ערכי הפונקציה בסביבת <math>x=2</math>:
[[תמונה:X^2.PNG|left|thumb|250px|ככל ש-<math>x</math> מתקרב ל-2, <math>f\left( x \right)</math> מתקרבת ל-4]]
{| class="wikitable" border="1"
!
<math>f\left( x \right)</math>
! <math>x</math>
! <math>f\left( x \right)</math>
! <math>x</math>
|-
| 9
| 3
| 1
| 1
|- bgcolor="#EFEFEF"
| 6.25
| 2.5
| 2.25
| 1.5
|-
| 4.41
| 2.1
| 3.61
| 1.9
|- bgcolor="#EFEFEF"
| 4.0401
| 2.01
| 3.9601
| 1.99
|-
| 4.004001
| 2.001
| 3.996001
| 1.999
|}
מהסתכלות בטבלה ובגרף, אנו רואים כי כאשר <math>x</math> קרובה ל-2, <math>f\left( x \right)</math> קרובה ל-4. למעשה, נראה שאנחנו יכולים לגרום ל-<math>f\left( x \right)</math> להיות קרובה ככל שנרצה ל-4 אם נבחר את <math>x</math> להיות קרוב דיו ל-2. אנחנו כותבים זאת מתמטית באופן הבא:
<math>\lim_{x \to 2}x^2=4</math>
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': נכתוב <math>\lim_{x \to a}f(x)=L</math>
ונאמר "הגבול של <math>f(x)</math>, כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math>, שווה ל-<math>L</math>"
אם אנחנו יכולים להביא את <math>f(x)</math> קרובה ל-<math>L</math> ככל שנרצה אם ניקח <math>x</math> קרוב מספיק ל-<math>a</math> (בכל צד של <math>a</math>) אבל לא שווה ל-<math>a</math>.
</div>
שימו לב כי ההגדרה אומרת <math>x \ne a</math>. משמע, בחיפוש הגבול של <math>f(x)</math> כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math>, אנחנו לא מתייחסים למקרה <math>x=a</math>. למעשה, <math>f(x)</math> כלל לא צריכה להיות מוגדרת בנקודה <math>a</math>. הדבר היחיד שמשנה הוא ש-<math>f</math> מוגדרת ליד <math>a</math>, כלומר בסביבה של <math>a</math>. למשל, היינו יכולים להגדיר את הפונקציה הנ"ל כך: <math>f\left( x \right) = \frac{{x^2 \left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}}</math>. לכאורה, לא שינינו כלל את הפונקציה. לכאורה, עבור כל <math>x</math> שהוא, יצטמצם הגורם <math>x-2</math> מהמונה והמכנה ונקבל את אותה התוצאה אילו הפונקציה הייתה מוגדרת כמו מקודם. אבל, כעת המקרה <math>x=2</math> הוא אינו מוגדר שכן הוא מביא לערך של אפס במכנה. למרות שתחום ההגדרה של הפונקציה לא כולל כעת את <math>x=2</math>, הגבול בנקודה זו נשאר כפי שהיה קודם לכן, זאת מכיוון שאנחנו מסתכלים על ערכי הפונקציה בסביבה של 2 ואין זה מעניין אותנו מהו ערכה ב-2 או האם היא בכלל מוגדרת ב-2. ערכה ב-2 יכול להגיע מבחינתנו למיליון, אך הגבול ישאר כפי שהוא.
ראוי לציין כי ההגדרה הנ"ל לגבול היא מעורפלת במקצת וכי בהמשך ניתן הגדרה מדויקת יותר לגבול.
'''דוגמה''': נחש את ערכו של הגבול <math>\lim_{x \to 0}\frac{{\sin x}}{x}</math>.
תשובה: נשים לב כי הפונקציה לא מוגדרת כאשר <math>x=0</math>, אבל כאמור, אין זה מפריע לנו. נבנה טבלת ערכים כדי לראות לאן הפונקציה שואפת כאשר <math>x</math> שואף ל-0. ערכי הפונקציה יהיו זהים עבור ערכי x אשר שווים עד כדי סימן מכיוון שגם הפונקציה במונה וגם הפונקציה במכנה הן פונקציות אי-זוגיות וסימני המינוס מבטלים זה את זה.
[[תמונה:Sinxx.PNG|left|thumb|250px|הפונקציה <math>\frac{{\sin x}}{x}</math>
בסביבת <math>x=0</math>]]
{| class="wikitable" border="1"
!
<math>\frac{{\sin x}}{x}</math>
! <math>x</math>
|-
| 0.84147098
| <math> \pm 1</math>
|- bgcolor="#EFEFEF"
| 0.95885108
| <math> \pm 0.5</math>
|-
| 0.99334665
| <math> \pm 0.2</math>
|- bgcolor="#EFEFEF"
| 0.99833417
| <math> \pm 0.1</math>
|-
| 0.99999983
| <math> \pm 0.001</math>
|}
מהסתכלות בטבלה ובגרף, אנו מנחשים כי <math>\lim_{x \to 0}\frac{{\sin x}}{x}=1</math>. לגבול זה תהיה חשיבות רבה בהמשך ורוב מסקנותינו לגבי הפונקציות הטריגונומטריות יתבססו עליו. בפרק הנגזרות הוא יוכח באופן מלא ונראה כי הניחוש שלנו הוא אכן נכון.
'''דוגמה''': נחש את ערכו של הגבול <math>\lim_{x \to 0}
\sin \frac{1}{x}</math>, אם קיים.
תשובה: גם פונקציה זו אינה מוגדרת עבור <math>x=0</math>. נעריך את ערך הפונקציה עבור ערכי <math>x</math> המתקרבים ל-0 ונקבל:
[[תמונה:Sin1x.PNG|left|thumb|250px|גרף הפונקציה <math>\sin \frac{1}{x}</math> בסביבת <math>x=0</math>]]
{| class="wikitable" border="1"
!
<math>\sin \frac{1}{x}</math>
! <math>x</math>
|-
| 0.84147098
| 1
|- bgcolor="#EFEFEF"
| 0.47942554
| 0.5
|-
| 0.09983342
| 0.1
|- bgcolor="#EFEFEF"
| 0.00999983
| 0.01
|-
| 0.00009999
| 0.0001
|}
זה אולי נראה מפתה לנחש <math>\lim_{x \to 0}
\sin \frac{1}{x}=0</math> אבל זוהי '''טעות'''! בהסתכלות על גרף הפונקציה, אנו רואים כי כאשר <math>x</math> קרוב לאפס, ערכי הפונקציה "מתנדנדים" בין 1 לבין 1- ואינם שואפים למספר כלשהו. ערך הפונקציה, למשל, עבור <math>x=0.0002</math> הוא בקירוב 0.98797- , בהחלט לא קרוב לאפס כמו ערך הפונקציה עבור <math>x=0.0001</math> או <math>x=0.01</math>. מכיוון שערכי הפונקציה אינם מתקרבים לשום ערך ככל ש-<math>x</math> מתקרב לאפס, אנחנו קובעים בזאת: הגבול <math>\lim_{x \to 0}
\sin \frac{1}{x}</math> אינו קיים.
בדוגמה זו ראינו כי שיטת הניחוש שלנו היא מסוכנת במקצת ובמקרים מסוימים, יכולה אף להטעות. בהמשך, נלמד להשתמש בכלים אמינים יותר לחישוב גבולות.
==גבולות חד-צדדיים==
[[תמונה:Heaviside.PNG|left|thumb|250px|הגרף של פונקצית הביסייד]]
הפונקציה הבאה קרויה '''פונקצית הביסייד''' ולעיתים, '''פונקצית מדרגה'''. הפונקציה קרויה על שמו של אוליבר הביסייד, פיזיקאי ומהנדס חשמל אנגלי ומשמשת לרוב כדי לתאר זרם חשמלי אשר מופעל בזמן <math>t=0</math>. היא מוגדרת באופן הבא:
<math> H(t)=\left\{\begin{matrix} 0 & & t < 0 \\ 1 & & t \ge 0 \end{matrix}\right. </math>
אנחנו מעוניינים לדעת מהו הגבול שלה כאשר <math>t</math> שואף ל-0, אם קיים גבול כזה. אנחנו רואים כי כאשר <math>t</math> שואף לאפס משמאל, הפונקציה שואפת לאפס. כאשר <math>t</math> שואף לאפס מימין, הפונקציה שואפת לאחד. משמע, אין מספר ייחודי אליו הפונקציה שואפת כאשר <math>t</math> שואף לאפס. מצד אחד, היא שואפת לאפס ומצד שני, היא שואפת לאחד. איך נכתוב זאת באופן פורמלי? נכתוב כך:
<math>\lim_{t\rarr 0^{-}} H(t)=0</math> וכן <math>\lim_{t\rarr 0^{+}} H(t)=1</math>
הסימון <math>t\rarr 0^{-}</math> אומר כי אנחנו מתייחסים רק לערכי <math>t</math> אשר קטנים מאפס. הסימון <math>t\rarr 0^{+}</math> כי אנחנו מתייחסים רק לערכי <math>t</math> אשר גדולים מאפס. הגבול הראשון נקרא הגבול הימני של הפונקציה בנקודה <math>t=0</math> והגבול השני נקרא הגבול השמאלי של הפונקציה בנקודה <math>t=0</math>.
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': נכתוב <math>\lim_{x\rarr a^{-}} f(x)=L</math>
ונאמר "הגבול השמאלי של <math>f\left( x \right)</math>, כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math>, שווה ל-<math>L</math>"
אם אנחנו יכולים להביא את <math>f\left( x \right)</math> קרובה ל-<math>L</math> ככל שנרצה אם ניקח <math>x</math> קרוב מספיק ל-<math>a</math> וקטן מ-<math>a</math>.
</div>
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': נכתוב <math>\lim_{x\rarr a^{+}} f(x)=L</math>
ונאמר "הגבול הימני של <math>f\left( x \right)</math>, כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math>, שווה ל-<math>L</math>"
אם אנחנו יכולים להביא את <math>f\left( x \right)</math> קרובה ל-<math>L</math> ככל שנרצה אם ניקח <math>x</math> קרוב מספיק ל-<math>a</math> וגדול מ-<math>a</math>.
</div>
</div>
גבולות ימנים ושמאליים נקראים '''גבולות חד-צדדיים''' מכיוון שהם גבולות של הפונקציה מצד אחד בלבד.
אם נשווה את הגדרה 1 עם הגדרות 2 ו-3, נראה כי המשפט הבא הוא נכון:
<div style="text-align: center;">
'''משפט''':<math>\lim_{x \to a}f(x)=L</math> אם ורק אם <math>\lim_{x\rarr a^{-}} f(x)=L</math> וגם <math>\lim_{x\rarr a^{+}} f(x)=L</math>.
</div>
משפט חשוב זה ורבים אחרים יוכחו באופן פורמלי כאשר נלמד את ההגדרה המדויקת של הגבול.
==גבולות אינסופיים ואסימפטוטות אנכיות==
נסתכל על הפונקציה <math>f\left( x \right) = \frac{1}{x}</math>. אנו מעוניינים למצוא את הגבול של הפונקציה כאשר <math>x</math> שואף ל-0, כלומר את <math>\lim_{x\rarr 0} 1/x</math>, אם הוא קיים.
[[תמונה:Inflimit.PNG|left|thumb|250px|גרף הפונקציה בסביבת <math>x=0</math>]]
מגרף הפונקציה, ניכר כי היא עולה באופן חופשי עבור ערכי <math>x</math> המתקרבים לאפס. נאמוד את ערכי הפונקציה עבור ערכי <math>x</math> המתקרבים לאפס:
{| class="wikitable" border="1"
! <math>1/x</math>
! <math>x</math>
! <math>1/x</math>
! <math>x</math>
|-
| 1
| 1
| 1-
| 1-
|- bgcolor="#EFEFEF"
| 2
| 0.5
| 2-
| 0.5-
|-
| 10
| 0.1
| 10-
| 0.1-
|- bgcolor="#EFEFEF"
| 100
| 0.01
| 100-
| 0.01-
|-
| 1000
| 0.001
| 1000-
| 0.001-
|- bgcolor="#EFEFEF"
| 10000
| 0.0001
| 10000-
| 0.0001-
|}
אנחנו רואים כי ככל ש-<math>x</math> מתקרב לאפס, הפונקציה עולה מצד ימין ויורדת מצד שמאל. היא לא שואפת לאף מספר שהוא, כאשר <math>x</math> שואף לאפס, לא מימין ולא משמאל, ולפיכך הגבול אינו קיים וגם הגבול הימני והשמאלי אינם קיימים. יש לנו סימון מיוחד עבור התנהגות זו של פונקציה והוא:
<math>\lim_{x\rarr 0^{+}} 1/x=\infty</math> וכן <math>\lim_{x\rarr 0^{-}} 1/x=-\infty</math>.
כלומר, ערכי הפונקציה מימין ל-<math>x=0</math> גדלים יותר ויותר (עולים ללא גבול) ככל ש-<math>x</math> מתקרב לאפס מימין וערכי הפונקציה משמאל ל-<math>x=0</math> קטנים יותר ויותר ככל ש-<math>x</math> מתקרב לאפס משמאל. חשוב לציין כי הסימון <math>\infty</math> מציין כאן כי הפונקציה עולה עד לאינסוף (או <math>-\infty</math> בתחום השלילי). אין לפונקציה הזו גבול. אינסוף הוא אינו מספר. הסימון <math>\lim_{x\rarr 0^{+}} 1/x=\infty</math> הוא סמלי בלבד.
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת מימין ומשמאל ל-<math>a</math>, מלבד אולי ב-<math>a</math> עצמו.
אזי, נכתוב <math>\lim_{x\rarr a} f(x)=\infty</math> ונאמר "הפונקציה שואפת לאינסוף כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math>"
אם אנחנו יכולים להגדיל את ערכי <math>f\left( x \right)</math> ככל שנרצה בכך שניקח ערכי x קרובים מספיק ל-<math>a</math>, אבל לא שווים ל-<math>a</math>.
</div>
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת מימין ומשמאל ל-<math>a</math>, מלבד אולי ב-<math>a</math> עצמו.
אזי, נכתוב <math>\lim_{x\rarr a} f(x)=-\infty</math> ונאמר "הפונקציה שואפת למינוס אינסוף כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math>"
אם אנחנו יכולים להקטין את ערכי <math>f\left( x \right)</math> ככל שנרצה בכך שניקח ערכי x קרובים מספיק ל-<math>a</math>, אבל לא שווים ל-<math>a</math>.
</div>
הגדרות דומות ניתן לתת לגבולות אינסופיים חד-צדדיים (כמו אלו שקיבלנו בדוגמא לעיל).
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': הישר <math>x=a</math> יקרא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה <math>y = f\left( x \right)</math> אם לפחות אחת מהטענות הבאות מתקיימת:
<math>\lim_{x\rarr a^{+}} f(x)=\infty</math>, <math>\lim_{x\rarr a^{-}} f(x)=\infty</math>, <math>\lim_{x\rarr a} f(x)=\infty</math>
<math>\lim_{x\rarr a^{+}} f(x)=-\infty</math>, <math>\lim_{x\rarr a^{-}} f(x)=-\infty</math>, <math>\lim_{x\rarr a} f(x)=-\infty</math>
</div>
לדוגמא, ראינו כי לפונקציה <math>f\left( x \right) = \frac{1}{x}</math> יש את האסימפטוטה האנכית <math>x=0</math>, מכיוון שהיא שואפת לאינסוף מימין לאפס ושואפת למינוס אינסוף משמאל לאפס. ניתן לחשוב על אסימפטוטה אנכית כעל ישר המקביל לציר ה-<math>y</math> שאליו הפונקציה שואפת להגיע. בפונקציה שראינו, האסימפטוטה האנכית הייתה ציר ה-y עצמו אך בפונקציות אחרות האסימפטוטה יכולה להיות ישר אחר אשר ניצב לציר ה-<math>y</math>. למשל, עבור הפונקציה <math>g\left( x \right) = \frac{{2}}{{x - 3}}</math> האסימפטוטה האנכית היא הישר <math>x=3</math>, גם באינסוף וגם במינוס אינסוף (נסו להוכיח זאת).
==גבולות באינסוף ואסימפטוטות אופקיות==
הבה נסתכל שוב בפונקציה <math>f\left( x \right) = \frac{1}{x}</math> ובגרף שלה. אנחנו רואים כי הפונקציה שואפת לאינסוף כאשר <math>x</math> הוא חיובי ושואף לאפס וכי היא שואפת למינוס אינסוף כאשר <math>x</math> הוא שלילי ושואף לאפס. אמרנו כי מכיוון שהפונקציה מקיימת את התכונה הזו, הישר <math>x=0</math> הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה. מה לגבי ערך הפונקציה כאשר <math>x</math> שואף לאינסוף או למינוס אינסוף? אנחנו רואים כי הפונקציה שואפת אל ציר ה-<math>x</math>, כלומר אל הישר <math>y=0</math>. נבדוק באמצעות טבלת ערכים:
{| class="wikitable" border="1"
! <math>1/x</math>
! <math>x</math>
! <math>1/x</math>
! <math>x</math>
|-
| 1
| 1
| 1-
| 1-
|- bgcolor="#EFEFEF"
| 0.5
| 2
| 0.5-
| 2-
|-
| 0.1
| 10
| 0.1-
| 10-
|- bgcolor="#EFEFEF"
| 0.01
| 100
| 0.01-
| 100-
|-
| 0.001
| 1000
| 0.001-
| 1000-
|}
אנחנו רואים, נומרית וגרפית, כי ככל שערכי x גדלים, כך ערך הפונקציה קטן ושואף לאפס. הדבר נכון גם עבור ערכי <math>x</math> חיוביים וגם עבור ערכי <math>x</math> שליליים. נכתוב זאת מתמטית באופן הבא:
<math>\lim_{x\rarr \infty}1/x=0</math> וכן <math>\lim_{x\rarr -\infty}1/x=0</math>
כלומר, הגבול של הפונקציה באינסוף הוא אפס והגבול של הפונקציה במינוס אינסוף הוא גם כן אפס. הפונקציה שואפת לישר <math>y=0</math> (ציר ה-<math>x</math>). במצב כזה, אנחנו נקרא לישר <math>y=0</math> אסימפטוטה אופקית.
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': תהי f פונקציה המוגדרת על קטע כלשהו <math>\left( {a,\infty} \right)</math>. אזי, נכתוב:
<math>\lim_{x\rarr \infty}f(x)=L</math>
ונאמר "הגבול של הפונקציה באינסוף הוא <math>L</math>"
אם אנחנו יכולים לקרב את ערכי הפונקציה <math>f\left( x \right)</math> קרוב ככל שנרצה ל-<math>L</math> בכך שניקח ערכי <math>x</math> גדולים מספיק.
'''הגדרה''': תהי f פונקציה המוגדרת על קטע כלשהו <math>\left( { -\infty,a} \right)</math>. אזי, נכתוב:
<math>\lim_{x\rarr -\infty}f(x)=L</math>
ונאמר "הגבול של הפונקציה במינוס אינסוף הוא <math>L</math>"
אם אנחנו יכולים לקרב את ערכי הפונקציה <math>f\left( x \right)</math> קרוב ככל שנרצה ל-<math>L</math> בכך שניקח ערכי <math>x</math> גדולים מספיק ושליליים.
</div>
אסימפטוטה אופקית היא פשוט כינוי לישר <math>y=L</math> באם מתקיים אחד מהתנאים הנ"ל.
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': הישר <math>y=L</math> יקרא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה <math>y = f\left( x \right)</math> אם לפחות אחת מהטענות הבאות מתקיימת:
<math>\lim_{x\rarr \infty} f(x)=L</math>, <math>\lim_{x\rarr -\infty} f(x)=L</math>
</div>
לפי ההגדרה הנ"ל, בפונקציה <math>f\left( x \right) = \frac{1}{x}</math>, הישר <math>y=0</math> מהווה אסימפטוטה אופקית.
[[תמונה:FunctionZeut.PNG|left|thumb|250px|פונקצית הזהות <math>h\left( x \right) = x</math>]]
האם פונקציה חייבת להיות בעלת אסימפטוטות אופקיות? לא. נסתכל, למשל, על פונקצית הזהות <math>h\left( x \right) = x</math>. מגרף הפונקציה, אנו רואים כי כאשר <math>x</math> שואף לאינסוף, גם הפונקציה שואפת לאינסוף. אנו גם רואים כי כאשר <math>x</math> שואף למינוס אינסוף, גם הפונקציה שואפת למינוס אינסוף. אלו הן מסקנות אינטואיטיביות ביותר שכן ערך הפונקציה בכל נקודה שווה לערכו של <math>x</math>. אנחנו מסמנים מקרים זה באופן הבא:
<math>\lim_{x\rarr \infty} h(x) = \lim_{x\rarr \infty} x=\infty</math> וכן <math>\lim_{x\rarr -\infty} h(x) = \lim_{x\rarr -\infty} x=-\infty</math>
ערכי הפונקציה גדלים ככל ש-<math>x</math> הוא חיובי וגדל והם קטנים ככל ש-<math>x</math> הוא שלילי וקטן. היא אינה שואפת לשום ישר. היא פשוט עולה לאינסוף ויורדת למינוס אינסוף. בדוגמה פשוטה זו, מסקנות אלו נראות טריוויאליות אך עבור פונקציות מסובכות יותר, קשה יותר להבחין האם הן מקיימות את התכונות הללו. מקרים אפשריים אחרים הם:
* <math>\lim_{x\rarr \infty} f(x)=-\infty</math>
* <math>\lim_{x\rarr -\infty} f(x)=\infty</math>
נסו למצוא פונקציות אשר מקיימות את התכונות הללו.
סוג נוסף של אסימפטוטות, אסימפטוטות משופעות, הוא מצב בו פונקציה שואפת לישר כלשהו אשר אינו מקביל לא לציר ה-<math>x</math> ולא לציר ה-<math>y</math>. בסוג זה של אסימפטוטות נדון בהרחבה מאוחר יותר בספר זה.
==חוקי הגבולות==
עד כה השתמשנו בגרפים ובחישובים מספריים גרידא כדי לחשב גבולות אבל ראינו דוגמה בה שיטות אלו לא בהכרח הובילו לתשובה הנכונה. בזאת מוצגים חוקי הגבולות הבאים, ככלי אמין יותר לחישוב גבולות:
'''חוקי הגבולות''': יהי <math>c</math> קבוע ויהיו הגבולות <math>\lim_{x\rarr a}f(x)</math> ו-<math>\lim_{x\rarr a}g(x)</math> קיימים וסופיים. אזי, מתקיימים החוקים הבאים:
* <math>\lim_{x\rarr a}\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \lim_{x\rarr a}f(x) + \lim_{x\rarr a}g(x)</math>
* <math>\lim_{x\rarr a}\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = \lim_{x\rarr a}f(x) - \lim_{x\rarr a}g(x)</math>
* <math>\lim_{x\rarr a}[cf(x)] = c\lim_{x\rarr a}f(x)</math>
* <math>\lim_{x\rarr a}[f(x)g(x)] = \lim_{x\rarr a}f(x) \cdot \lim_{x\rarr a}g(x)</math>
* <math>\lim_{x\rarr a}\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{\lim_{x\rarr a}{f\left( x \right)}}{{\lim_{x\rarr a}g\left( x \right)}}</math>
החוק החמישי מתקיים '''רק אם''' <math>\lim_{x\rarr a}g(x) \ne 0</math>, על מנת להימנע מחלוקה באפס.
את כל אחד מהחוקים האלו ניתן לנסח במילים. גבול של סכום הוא סכום הגבולות, גבול של מנה הוא מנת הגבולות וכדומה. הגבולות האלו בבירור מתקיימים, אינטואיטיבית. למשל, עבור החוק הראשון, אם <math>f(x)</math> שואפת למספר <math>M</math> ו-<math>g(x)</math> שואפת למספר <math>L</math>, זה נשמע הגיוני שהגבול של סכום הפונקציות שואף ל-<math>L+M</math>. עם זאת, את כולם נדע להוכיח במדויק מאוחר יותר. נציג מס' חוקים נוספים שימושיים.
אם נשתמש בכלל למכפלת גבולות מס' <math>n</math>-י של פעמים כאשר <math>f\left( x \right) = g\left( x \right)</math>, נקבל את הכלל הבא:
* <math>\lim_{x\rarr a}\left[ {f\left( x \right)} \right]^n = [\lim_{x\rarr a}f(x)]^n</math>
כאשר <math>n</math> הוא מספר חיובי שלם.
הכללים הבאים הם כללים בסיסיים אשר ברורים אינטואיטיבית (ציירו את הגרפים של <math>y=c</math> ושל <math>y=x</math> במידה וזה לא נראה ברור):
* <math>\lim_{x\rarr a}c = c</math>
* <math>\lim_{x\rarr a}x = a</math>
קיים גם כלל "הפוך" לכלל השישי שהגדרנו (גבול של פונקציה בחזקה הוא הגבול של הפונקציה כאשר הגבול עצמו הוא בחזקה), להלן:
* <math>\lim_{x\rarr a}\sqrt[n]{{f\left( x \right)}} = \sqrt[n]{\lim_{x\rarr a}f(x)}
</math>
כאשר <math>n</math> הוא מספר חיובי שלם. אם <math>n</math> הוא מספר זוגי, הכלל מתקיים '''רק אם''' <math>\lim_{x\rarr a}f(x) > 0</math>.
'''דוגמה''': חשב את הגבול <math>\lim_{x\rarr 1}\frac{{x^2 - 2x + 4\sqrt[3]{x} - 1}}{{x + 8}}
</math> ,אם הוא קיים.
תשובה: <div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to 1} \frac{{x^3 - 2x^2 + 4x\sqrt[3]{x} - 1}}{{x + 8}} = \frac{{\lim _{x \to 1} \left( {x^3 - 2x^2 + 4x\sqrt[3]{x} - 1} \right)}}{{\lim _{x \to 1} \left( {x + 8} \right)}} =</math>
<math>
= \frac{{\lim _{x \to 1} \left( {x^3 } \right) - \lim _{x \to 1} \left( {2x^2 } \right) + \lim _{x \to 1} \left( {4x\sqrt[3]{x}} \right) - \lim _{x \to 1} 1}}{{\lim _{x \to 1} x + \lim _{x \to 1} 8}} = \frac{{\left( {\lim _{x \to 1} x} \right)^3 - 2\lim _{x \to 1} \left( {x^2 } \right) + 4\lim _{x \to 1} \left( {x\sqrt[3]{x}} \right) - 1}}{{1 + 8}} =</math>
<math> = \frac{{1^3 - 2\left( {\lim _{x \to 1} x} \right)^2 + 4\left[ {\left( {\lim _{x \to 1} x} \right) \cdot \left( {\lim _{x \to 1} \sqrt[3]{x}} \right)} \right] - 1}}{9} = \frac{{ - 2\left( 1 \right)^2 + 4\left( {1 \cdot \sqrt[3]{{\lim _{x \to 1} x}}} \right)}}{9} = \frac{{ - 2 + 4\left( {1 \cdot \sqrt[3]{1}} \right)}}{9} =
</math>
<math> = \frac{{ - 2 + 4}}{9} = \frac{2}{9}</math>
</div>
בחישוב גבול זה, השתמשנו בכל חוקי הגבולות והכללים הנ"ל בשלבי הפתרון השונים. ראוי לציין כי המעבר הראשון (מגבול של מנה למנה של גבולות) נעשה תחת ההנחה שהגבול של המכנה הוא אינו אפס ואילו היינו מקבלים כי הגבול של המכנה הוא אפס, המעבר לא היה נכון והיינו נאלצים לחזור לנקודת ההתחלה ולחפש דרך אחרת לחישוב הגבול.
'''דוגמה''': חשב את הגבול <math>\lim _{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}}</math>, אם הוא קיים.
תשובה: כאן אנחנו נתקלים במכשול קטן. אנו רואים כי אם נשתמש בחוק החמישי לגבולות (גבול של מנה שווה למנת הגבולות) יווצר לנו במכנה גבול שערכו אפס. לפיכך, איננו יכולים להשתמש בחוק זה כאן. במקום זאת, נעשה קצת מניפולציה אלגברית. נשים לב כי <math>\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) = x - 1
</math> ונכתוב:
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \lim _{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \lim _{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt x + 1}}</math>
</div>
כעת אנחנו יכולים להשתמש בחוק החמישי לגבולות.
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\lim _{x \to 1} \left( 1 \right)}}{{\lim _{x \to 1} \left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{1}{{\lim _{x \to 1} \left( {\sqrt x } \right) + \lim _{x \to 1} \left( 1 \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {\lim _{x \to 1} x} + 1}} = \frac{1}{{\sqrt 1 + 1}} = \frac{1}{2}
</math>
</div>
וזהו ערכו של הגבול.
'''דוגמה''': חשב את ערכו של הגבול <math>\lim _{x \to 2} \frac{{\sqrt {x^2 + 4} - 2}}{{x^2 }}</math>, אם הוא קיים.
תשובה: גם כאן אנחנו לא יכולים להשתמש בחוק הגבולות החמישי. כאן המניפולציה האלגברית שנעשה היא סילוק השורש מהמונה.
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to 2} \frac{{\sqrt {x^2 + 4} - 2}}{{x^2 }} = \lim _{x \to 2} \left( {\frac{{\sqrt {x^2 + 4} - 2}}{{x^2 }} \cdot \frac{{\sqrt {x^2 + 4} + 2}}{{\sqrt {x^2 + 4} + 2}}} \right) = \lim _{x \to 2} \left( {\frac{{\left( {\sqrt {x^2 + 4} - 2} \right)\left( {\sqrt {x^2 + 4} + 2} \right)}}{{x^2 \left( {\sqrt {x^2 + 4} + 2} \right)}}} \right) =
</math>
<math> = \lim _{x \to 2} \left( {\frac{{\left( {x^2 + 4} \right) - 4}}{{x^2 \left( {\sqrt {x^2 + 4} + 2} \right)}}} \right) = \lim _{x \to 2} \left( {\frac{{x^2 }}{{x^2 \left( {\sqrt {x^2 + 4} + 2} \right)}}} \right) = \lim _{x \to 2} \frac{1}{{\sqrt {x^2 + 4} + 2}} = \frac{{\lim _{x \to 2} 1}}{{\lim _{x \to 2} \left( {\sqrt {x^2 + 4} + 2} \right)}} =
</math>
<math> = \frac{1}{{\lim _{x \to 2} \left( {\sqrt {x^2 + 4} } \right) + \lim _{x \to 2} 2}} = \frac{1}{{\sqrt {\lim _{x \to 2} \left( {x^2 + 4} \right)} + 2}} = \frac{1}{{\sqrt {\lim _{x \to 2} \left( {x^2 } \right) + \lim _{x \to 2} 4} + 2}} = \frac{1}{{\sqrt {\left( {\lim _{x \to 2} x} \right)^2 + 4} + 2}} =
</math>
<math> = \frac{1}{{\sqrt {2^2 + 4} + 2}} = \frac{1}{{\sqrt {4 + 4} + 2}} = \frac{1}{{\sqrt 8 + 2}}</math>
</div>
מניפולציות אלגבריות שכאלו הן לעיתים הכרחיות כדי להגיע לגבול שאנחנו יכולים לחשב אותו באמצעות חוקי הגבולות.
עד כה חישבנו גבולות באופן מדוקדק לפי חוקי הגבולות, כאשר כל צעד וצעד שעשינו מנומק לפי אחד מחוקי הגבולות שהגדרנו קודם לכן. אבל, מהסתכלות בחישובי הגבולות שעשינו, נוצר הרושם כי מרגע שהגענו לצורה מוגדרת של הגבול ואילך, היינו יכולים פשוט להציב את המספר אליו <math>x</math> שואף אל תוך הגבול באופן מיידי ולקבל את התשובה הנכונה. בעקבות זאת, נראה את הכלל החדש הבא:
*אם <math>f</math> היא פונקציה אלמנטרית המוגדרת בנקודה <math>x=a</math>, אזי מתקיים <math>
\lim _{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)
</math>.
מהי פונקציה אלמנטרית? פונקציה אלמנטרית היא פונקציה אשר ניתן לבנות אותה על ידי הפעולות האריתמטיות הבסיסיות (חיבור, חיסור, כפל, חילוק, הוצאת חזקה ושורש) ופעולת ההרכבה ממספר פונקציות בסיסיות: הפונקציה המעריכית <math>e^x</math>, הפונקציה הלוגוריתמית <math>\log _a x</math>, הפונקציות הטריגונומטריות והפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות, הפונקציות ההיפרבוליות והפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות, פולינומים והפונקציות ההפוכות לפולינומים (פונקציות שורש, למשל הפונקציה
<math>f\left( x \right) = \sqrt[5]{x}</math>). פונקצית הביסייד, אותה ראינו כשעסקנו בגבולות חד-צדדיים, היא דוגמה לפונקציה לא אלמנטרית. לא ניתן להגדיר אותה עם נוסחה סגורה (כמו שאר הפונקציות בהן עסקנו כאן) ולא משנה כמה ננסה, לא נצליח להגדירה באמצעות הפעולות האריתמטיות הבסיסיות והפונקציות הבסיסיות הנ"ל. נראה בפרק הבא כי פונקציות (לא בהכרח אלמנטריות) אשר מקיימות את התכונה של <math>
\lim _{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)
</math> קרויות פונקציות רציפות וכי יש להן תכונות רבות ומעניינות.
הכלל הבא עוזר לנו לחשב גבולות באינסוף:
* אם <math>r > 0</math> הוא מספר ממשי, אז מתקיים <math>\lim _{x \to \infty} \frac{1}{{x^r }} = 0</math>.
* אם <math>r > 0</math> הוא מספר ממשי כך ש-<math>x^r</math> מוגדר לכל <math>x</math>, אז מתקיים <math>\lim _{x \to -\infty} \frac{1}{{x^r }} = 0</math>.
'''דוגמה''': חשב את ערכו של הגבול <math>\lim _{x \to \infty} \frac{{9x^2 + x - 4}}{{ - 2x^2 + 3x - 10}}</math>, אם הוא קיים.
[[תמונה:Manatpolynomim.PNG|left|thumb|250px|הפונקציה <math>y = \frac{{9x^2 + x - 4}}{{ - 2x^2 + 3x - 10}}</math>]]
תשובה: כאשר <math>x</math> שואף לאינסוף גם המונה וגם המכנה שואפים לאינסוף. בעגה מתמטית, הדבר קרוי גבול מצורה בלתי מוגדרת <math>\frac{\infty}{\infty}</math>. אין זה ברור לאן שואפת המנה כאשר גם המונה וגם המכנה שואפים לאינסוף. כמו בדוגמה הקודמת, בה נתקלנו בצורה הבלתי מוגדרת <math>\frac{0}{0}</math>, גם כאן נצטרך לעשות מעט מניפולציה אלגברית כדי להגיע לגבול שאותו אנו יודעים לחשב. כאן המניפולציה האלגברית הדרושה (וגם בגבולות רבים אחרים באינסוף) היא חלוקת המונה והמכנה שניהם בחזקה הגדולה ביותר של <math>x</math> המופיעה במכנה. לפיכך:
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to \infty} \frac{{9x^2 + x - 4}}{{ - 2x^2 + 3x - 10}} = \lim _{x \to \infty} \frac{{\frac{{9x^2 + x - 4}}{{x^2 }}}}{{\frac{{ - 2x^2 + 3x - 10}}{{x^2 }}}} = \lim _{x \to \infty} \frac{{9 + \frac{1}{x} - \frac{4}{{x^2 }}}}{{ - 2 + \frac{3}{x} - \frac{{10}}{{x^2 }}}}</math>
</div>
כעת אנחנו יכולים להשתמש בכלל לעיל כדי לחשב את הגבול.
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to \infty} \frac{{9 + \frac{1}{x} - \frac{4}{{x^2 }}}}{{ - 2 + \frac{3}{x} - \frac{{10}}{{x^2 }}}} = \frac{{\lim _{x \to \infty} \left( {9 + \frac{1}{x} - \frac{4}{{x^2 }}} \right)}}{{\lim _{x \to \infty} \left( { - 2 + \frac{3}{x} - \frac{{10}}{{x^2 }}} \right)}} = \frac{{\lim _{x \to \infty} 9 + \lim _{x \to \infty} \left( {\frac{1}{x}} \right) - \lim _{x \to \infty} \left( {\frac{4}{{x^2 }}} \right)}}{{\lim _{x \to \infty} \left( { - 2} \right) + \lim _{x \to \infty} \left( {\frac{3}{x}} \right) - \lim _{x \to \infty} \left( {\frac{{10}}{{x^2 }}} \right)}} =
</math>
<math> = \frac{{9 + 0 - 4\lim _{x \to \infty} \left( {\frac{1}{{x^2 }}} \right)}}{{ - 2 + 3\lim _{x \to \infty} \left( {\frac{1}{x}} \right) - 10\lim _{x \to \infty} \left( {\frac{1}{{x^2 }}} \right)}} = \frac{{9 - 4 \cdot 0}}{{ - 2 + 3 \cdot 0 - 10 \cdot 0}} = \frac{9}{{ - 2}} = - 4.5</math>
</div>
הגבול הוא <math>-4.5</math>. שימו לב כי למעשה גילינו כי הישר <math>y=-4.5</math> מהווה אסימפטוטה אופקית לפונקציה באינסוף. הגרף בצד מציג את הפונקציה בתחום <math>\left( { - 100,100} \right)</math>. אנחנו רואים בגרף כי הישר <math>y=-4.5</math> מהווה אסימפטוטה אופקית לפונקציה לא רק באינסוף אלא גם במינוס אינסוף. גם זאת ניתן להוכיח לפי חוקי הגבולות וההוכחה דומה מאוד להוכחה הנ"ל עבור אינסוף.
[[תמונה:Abs.PNG|left|thumb|250px|פונקצית הערך המוחלט בסביבת <math>x=0</math>]]
'''דוגמה''': חשב את ערכו של הגבול <math>\lim _{x \to 0} \left| x \right|</math>, אם הוא קיים.
תשובה: כמו פונקצית הביסייד, גם פונקצית הערך המוחלט היא אינה אלמנטרית. נזכיר כי היא מוגדרת באופן הבא:
<math> | x |=\left\{\begin{matrix} x & & x \ge 0 \\ -x & & x < 0 \end{matrix}\right. </math>
לפיכך, אנחנו נאלץ לחשב את הגבולות החד-צדדיים שלה בנקודה <math>x=0</math> ובמידה והם יהיו שווים, יהיה לפונקציה גבול (גם מימין וגם משמאל) בנקודה, גבול סופי.
עבור <math>x>0</math>, מתקיים <math>\left| x \right| = x</math>, לכן:
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to 0^ + } \left| x \right| = \lim _{x \to 0^ + } x = 0</math>
</div>
עבור <math>x<0</math>, מתקיים <math>\left| x \right| = -x</math>, לכן:
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to 0^ - } \left| x \right| = \lim _{x \to 0^ - } (-x) = 0</math>
</div>
לפיכך, הגבולות החד-צדדיים של הפונקציה בנקודה <math>x=0</math> הם קיימים, סופיים ושווים, לכן:
<math>\lim _{x \to 0} \left| x \right| = 0</math>
גרף הפונקציה מוצג משמאל ונראה שהוא מאשש את מסקנתנו כי הפונקציה שואפת לאפס כאשר <math>x</math> שואף לאפס.
[[Image:Floor function.svg|thumb|left|פונקצית הערך השלם]]
'''דוגמה''': '''פונקצית הערך השלם''' (נקראת גם '''פונקצית רצפה''') היא פונקציה המחזירה לכל מספר ממשי x את המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל-<math>x</math>. הסימון הרווח לפונקציה הוא <math>\lfloor x \rfloor</math>. למשל, <math>\lfloor 2.7 \rfloor = 2</math>, <math>\lfloor -2.1 \rfloor = -3</math>, <math>\lfloor -2 \rfloor = -2</math>. גרף הפונקציה מוצג משמאל. חשב את ערכו של הגבול <math>\lim _{x \to 2} \lfloor x \rfloor</math>, אם הוא קיים.
תשובה: נחשב את הגבולות החד-צדדיים של הפונקציה. מכיוון ש-<math>\lfloor x \rfloor = 2</math> עבור <math>2 \le x < 3</math>, הגבול הימני הוא:
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to 2^ + } \lfloor x \rfloor = \lim _{x \to 2^ + } 2 = 2</math>
</div>
מכיוון ש-<math>\lfloor x \rfloor = 1</math> עבור <math>1 \le x < 2</math>, הגבול השמאלי הוא:
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to 2^ - } \lfloor x \rfloor = \lim _{x \to 2^ - } 1 = 1</math>
</div>
הגבול הימני והגבול השמאלי קיימים וסופיים אך הם אינם שווים, לכן הגבול <math>\lim _{x \to 2} \lfloor x \rfloor</math> אינו קיים.
===קישורים חיצוניים===
* [http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/limcondirectory/LimitConstant.html תרגילים (עם פתרונות מלאים) בחישוב גבולות סופיים (מומלץ)]
* [http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/liminfdirectory/LimitInfinity.html תרגילים (עם פתרונות מלאים) בחישוב גבולות אינסופיים ובאינסוף (מומלץ)]
==כלל הסנדוויץ'==
כלל הסנדוויץ' הוא אחד מהכללים השימושים ביותר בחישוב גבולות. גבולות מסוימים שנראים קשים מאוד או אף בלתי אפשריים לחישוב הופכים לגבולות קלים מאוד לחישוב בעזרתו. לפני שנציג אותו, נציג עוד כלל שימושי:
<div style="text-align: center;">
'''משפט''': אם <math>f\left( x \right) \le g\left( x \right)</math> כאשר <math>x</math> נמצא בסביבת <math>a</math> (מלבד אולי ב-<math>a</math> עצמו) והגבולות של <math>f</math> ושל <math>g</math> קיימים כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math>, אזי מתקיים:
<math>\lim _{x \to a} f\left( x \right) \le \lim _{x \to a} g\left( x \right)</math>
</div>
המשפט נשמע הגיוני. אם פונקציה כלשהי קטנה או שווה לפונקציה אחרת בסביבת <math>x=a</math> כלשהו, אז הגבול שלה קטן או שווה לגבול של הפונקציה האחרת. משפט וזה וכן משפט הסנדוויץ' יוכחו בהמשך.
<div style="text-align: center;">
'''כלל הסנדוויץ'''': אם <math>\ h(x) , g(x) , f(x) </math> הן פונקציות המקיימות:
:<math>\ h(x) \le f(x) \le g(x)</math> וכן <math>\lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} g(x) = L</math>
אז הגבול של <math>\ f</math> בנקודה <math>\ a</math> קיים וערכו <math> \lim_{x \to a} f(x) = L </math>
</div>
במילים אחרות, אם פונקציה שגבולה לא ידוע חסומה בין שתי פונקציות אחרות שגבולותיהן ידועים ושווים, אז לפונקציה החסומה בהכרח יש גבול והוא שווה לגבול הפונקציות החוסמות. <math>a</math> ו-<math>L</math> יכולים להיות מספר, אינסוף או מינוס אינסוף. בכל מקרה המשפט מתקיים. ראוי לציין כי אי השיוויון <math>\ h(x) \le f(x) \le g(x)</math> צריך להתקיים רק בסביבת <math>a</math> ואין זה מעניין אותנו אם הוא מתקיים או לא במקומות אחרים בתחומי הפונקציות. נראה שתי דוגמאות לשימוש בכלל הסנדוויץ'.
[[תמונה:SqueezeTheorem.JPG|left|thumb|250px|גרפי הפונקציות <math>f(x), g(x), h(x)</math>]]
'''דוגמה''': חשב את ערכו של הגבול <math>\lim _{x \to 0} \left( {x\sin x} \right)</math>, אם הוא קיים.
תשובה: את הגבול הנ"ל אנחנו יכולים לחשב בקלות באמצעות החוקים שהגדרנו עד כה. לפי הכלל למכפלת גבולות, הוא יהפך ל: <math>\lim _{x \to 0} x \cdot \lim _{x \to 0} \sin x
</math> ומכיוון ששני הגבולות האלו קיימים וסופיים וערכם אפס, גם ערכו של גבול שלנו יהיה אפס. אבל הבה ננסה לחשב את הגבול בדרך אחרת, באמצעות כלל הסנדוויץ'. אם התוצאה תהיה אפס גם בדרך זו, זה יהווה אישוש של נכונות הדרך הקודמת.
ידוע לנו כי פונקצית הסינוס חסומה בין הישרים <math>y=1</math> ו-<math>y=-1</math>, או בכתיב פורמלי: <math> - 1 \le \sin x \le 1</math>. נניח, בלי הגבלת הכלליות, כי <math>x>0</math> ונכפיל את כל אי השיוויון ב-<math>x</math>. נקבל: <math> - x \le x\sin x \le x</math>. לפי הגדרת כלל הסנדוויץ' הנ"ל, אנחנו רואים כי הפונקציות שלנו כאן הן <math>g\left( x \right) = x</math>,
<math>f\left( x \right) = x\sin x</math> ו-<math>h\left( x \right) = - x</math>. נחשב את הגבולות של הפונקציות החוסמות:
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to 0} h\left( x \right) = \lim _{x \to 0} \left( { - x} \right) = 0</math>
<math>\lim _{x \to 0} g\left( x \right) = \lim _{x \to 0} x = 0
</math>
</div>
קיבלנו כי <math>\lim _{x \to 0} h\left( x \right) = \lim _{x \to 0} g\left( x \right) = 0</math>, כנדרש, לכן לפי כלל הסנדוויץ', <math>\lim _{x \to 0} f\left( x \right) = 0</math>. ההוכחה עבור המקרה <math>x<0</math> דומה מאוד. התמונה בצד מציגה את הגרפים של שלושת הפונקציות ומספקת לנו המחשה ויזואלית של כלל הסנדוויץ'.
'''דוגמה''': חשב את ערכו של הגבול <math>\lim _{x \to 0} \left( {x^2 \sin \frac{1}{x}} \right)</math>, אם הוא קיים.
תשובה: את הגבול הזה אנחנו כבר לא יכולים לחשב עם חוקי הגבולות שהגדרנו מכיוון שאם נשתמש בחוק למכפלת גבולות <math>\lim _{x \to 0} \left( {x^2 \sin \frac{1}{x}} \right) = \lim _{x \to 0} \left( {x^2 } \right) \cdot \lim _{x \to 0} \left( {\sin \frac{1}{x}} \right)</math>, נקבל את הגבול <math>\lim _{x \to 0} \left( {\sin \frac{1}{x}} \right)
</math> שאינו קיים (ראינו זאת כאשר דנו בהגדרה הלא מדויקת של הגבול). אך אין זה אומר שהגבול \lim _{x \to 0} \left( {x^2 \sin \frac{1}{x}} \right) אינו קיים. הבה ננסה לחשבו באמצעות כלל הסנדוויץ'. פונקצית הסינוס חסומה בין הישרים <math>y=1</math> ל-<math>y=-1</math>, כלומר:[[תמונה:Sandwich2.PNG|left|thumb|250px|הפונקציה ושתי הפונקציות החוסמות]]
<math> - 1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1
</math>. נכפיל את כל אי-השיוויון ב-<math>x^2</math> (מכיוון ש-<math>x</math> הוא בחזקה זוגית, הוא בהכרח חיובי והסימנים לא ישתנו) ונקבל:
<div style="text-align: center;">
<math> - x^2 \le x^2 \sin \frac{1}{x} \le x^2</math>
</div>
נותר לנו רק למצוא את הגבול של הפונקציות החוסמות <math>x^2</math> ו-<math>-x^2</math> כאשר x שואף לאפס.
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to 0} \left( { - x^2 } \right) = - 0^2 = 0</math>
<math>\lim _{x \to 0} \left( {x^2 } \right) = 0^2 = 0</math>
</div>
לכן, לפי כלל הסנדוויץ', <math>\lim _{x \to 0} \left( {x^2 \sin \frac{1}{x}} \right) = 0</math>. הגרפים של שלושת הפונקציות מוצגים משמאל והם מאששים את מסקנתנו לגבי הגבול.
===קישורים חיצוניים===
* [http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/squeezedirectory/SqueezePrinciple.html תרגילים (עם פתרונות מלאים) בחישוב גבולות באמצעות כלל הסנדוויץ' (מומלץ להתעלם משאלות 9-10 בשלב הזה)]
=ההגדרה המדויקת של הגבול=
| 