חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 40:
המספר <math>\varepsilon</math> אינו נבחר על ידנו, אם כן. <math>\varepsilon</math> אשר מייצג את המרחק של <math>f(x)</math> מהערך <math>L</math> יכול להיות כל מספר. כאשר נוכיח את קיומו של גבול כלשהו נצטרך למצוא עבור מספר <math>\varepsilon</math> כללי, מספר אחר <math>\delta</math>, מתאים לו (כפי שכתוב בהגדרה) אשר מקיים את שאר תנאי המשפט. <math>\delta</math> אם כן, הוא מספר אשר '''כן''' נבחר על ידנו, אבל לא כל <math>\delta</math> יתאים, ונצטרך לבחור אותו בחוכמה, ועל כך בדוגמא.
'''דוגמא:''' נביט בפונקציה <math>f(x) = \frac {{x}}{{x}}</math> ונתעניין בגבול <math>\lim_{x\rarr a}f(x)</math>. <br />
ראשית, מהם הערכים שהפונקציה מקבלת? לכל <math>x \ne 0</math> נקבל כי <math>f(x) = \frac {{x}}{{x}} = 1</math> . ניתן להיות תחת הרושם '''השגוי''' כי למעשה <math>f(x) = 1</math> לכל <math>x</math>, אבל שימו לב מה קורה עבור <math>x = 0</math>: <math>f(0) = \frac {{0}}{{0}}</math> , וכפי שלמדנו בביה"ס היסודי, '''אין לחלק ב-0 לעולם'''. לכן ב-0 הפונקציה אינה מוגדרת. עם זאת, אנו "מרגישים" שכאשר נתקרב ל-0 "מאוד" עדיין נשמר הכלל <math>f(x) = 1</math> ולכן "מתבקש" כי <math>\lim_{x\rarr
▲נביט בפונקציה <math>f(x) = \frac {{x}}{{x}}</math> ונתעניין בגבול <math>\lim_{x\rarr a}f(x)</math> <br /> .
▲ראשית, מהם הערכים שהפונקציה מקבלת? לכל <math>x \ne 0</math> נקבל כי <math>f(x) = \frac {{x}}{{x}} = 1</math> . ניתן להיות תחת הרושם '''השגוי''' כי למעשה <math>f(x) = 1</math> לכל <math>x</math>, אבל שימו לב מה קורה עבור <math>x = 0</math>: <math>f(0) = \frac {{0}}{{0}}</math> , וכפי שלמדנו בביה"ס היסודי, '''אין לחלק ב-0 לעולם'''. לכן ב-0 הפונקציה אינה מוגדרת. עם זאת, אנו "מרגישים" שכאשר נתקרב ל-0 "מאוד" עדיין נשמר הכלל <math>f(x) = 1</math> ולכן "מתבקש" כי <math>\lim_{x\rarr a}f(x)</math> . כעת נוכיח זאת בצורה מדוייקת, בעזרת ההגדרה המדוייקת שלמדנו. <br />
יהי <math>\varepsilon > 0</math> כלשהו. למה הכוונה במשפט זה? נזכר כי עלינו להוכיח משהו (במקרה זה קיום
<math>\delta > 0</math> מתאים) עבור כל <math>\varepsilon</math> הגדול מאפס. יש כמובן אינסוף ערכי <math>\varepsilon</math> שעבורם עלינו למצוא. אנו בוחרים איפה <math>\varepsilon > 0</math> שרירותי, ומוצאים עבורו <math>\delta</math> מתאים. אם עבור <math>\varepsilon</math> שרירותי שנבחר נמצא המבוקש - הרי שניתן להגיד שלכל <math>\varepsilon > 0</math> ניתן למצוא את המבוקש וסיימנו את ההוכחה.
| |||