חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 42:
'''דוגמא:''' נביט בפונקציה <math>f(x) = \frac {{x}}{{x}}</math> ונתעניין בגבול <math>\lim_{x\rarr a}f(x)</math>. <br />
ראשית, מהם הערכים שהפונקציה מקבלת? לכל <math>x \ne 0</math> נקבל כי <math>f(x) = \frac {{x}}{{x}} = 1</math> . ניתן להיות תחת הרושם '''השגוי''' כי למעשה <math>f(x) = 1</math> לכל <math>x</math>, אבל שימו לב מה קורה עבור <math>x = 0</math>: <math>f(0) = \frac {{0}}{{0}}</math> , וכפי שלמדנו בביה"ס היסודי, '''אין לחלק ב-0 לעולם'''. לכן ב-0 הפונקציה אינה מוגדרת. עם זאת, אנו "מרגישים" שכאשר נתקרב ל-0 "מאוד" עדיין נשמר הכלל <math>f(x) = 1</math> ולכן "מתבקש" כי <math>\lim_{x\rarr 0}f(x)=1</math> . כעת נוכיח זאת בצורה מדוייקת, בעזרת ההגדרה המדוייקת שלמדנו. <br />
יהי <math>\
<math>\delta > 0</math> מתאים) עבור כל <math>\varepsilon</math> הגדול מאפס. יש כמובן אינסוף ערכי <math>\varepsilon</math> שעבורם עלינו למצוא. אנו בוחרים איפה <math>\
ובכן, נבחר עבור ה- math>\varepsilon_0</math> שלנו, <math>\delta=\varepsilon_0</math>. מתעוררות שתי שאלות:
# האם זהו <math>\delta</math> מתאים?
# האם זהו ה-<math>\delta</math> היחידי שניתן לבחור?
התשובה לשאלה הראשונה היא "כן". הבא נראה:
עבור כל <math>x</math> המקיים <math>0 < \left| {x - 0} \right| < \delta = \varepsilon_0</math> בפרט מתקיים <math>0 < \left| {x - 0} \right| = \left| {x} \right|</math> , כלומר ש- <math>x \neq 0</math> ולכן f(x) = 1 כפי שהוסבר קודם, ולכן
<div style="text-align: center;">
<math>\left| {f\left( x \right) - 1} \right| = \left| {1 - 1} \right|=0< \varepsilon_0</math>
</div>
ולכן הוכחנו את מה שדרשה ההגדרה.<br />
לשאלתנו השנייה - התשובה היא "לא". שימו לב שבהוכחה לא השתמשנו כלל בעובדה ש- <math>\left| {x - 0} \right| < \delta = = \varepsilon_0</math> , כלומר לא נזקקנו לגודל מסויים של <math>\delta</math> , ולמעשה יכולנו לבחור כל ערך עבורו, בפרק לקבוע ערכים קבועים כמו <math>\delta = 32</math>. זה '''לא''' יהיה המצב תמיד, ולעיתים נהיה חייבים לקבוע מגבלות מסויימות על ערכי <math>\delta</math> המתאימים. אם זאת, שימו לב שאם <math>\delta = \delta_0</math> מתאים ל- <math>\varepsilon = \varepsilon_0</math> מסויים הרי שגם <math>\delta = \frac {{\delta_0}}{{2}}</math> יתאים ולכן תמיד הבחירה של <math>\delta</math> אינה יחידה.
{{אתגר| נסו להבין למה אם <math>\delta = \delta_0</math> מתאים ל- <math>\varepsilon = \varepsilon_0</math> אז גם <math>\delta = \frac {{\delta_0}}{{2}}</math> מתאים לו.}}
==הגדרה מדויקת לגבולות חד-צדדיים==
| |||