מבוא למתמטיקה אוניברסיטאית/המושגים היסודיים בלימוד המתמטיקה: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בעקבות שינוי בתבנית "הגדרה" |
|||
שורה 35:
}}
==משפט==
לאחר שקבענו הגדרות, נרצה לפתח אותן, ולהגיע למסקנות ושימושים מהן. המסקנות הללו יכתבו בצורה של "משפטים", "טענות" ו"לֶמות". <br />
כתיבת ה"משפט" תחולק לשני שלבים. השלב הראשון הוא שלב הניסוח, בו יוסבר מה רוצים להוכיח. השלב השני הוא שלב ההוכחה, בו ינותח הניסוח בכלים מתמטיים שונים אשר יביאו (בתקווה) למסקנה חד משמעית בקשר לנכונות המשפט. על שלב ההוכחה ושיטות הוכחה נדבר בפרק "[[כלי הוכחה מתמטיים]]". נציין כאן רק, שבעוד שלב הניסוח הוא בד"כ קצר (מספר בודד של שורות), שלב ההוכחה יכול להיות ארוך ביותר, כך שלעיתים דרושים ספרים שלמים להוכחת משפט המנוסח בשורה אחת. לעיתים שלב ההוכחה הוא כל כך ארוך, כך שכאשר נילמד משפט מסויים בקורס, הוא ניתן ללא הוכחה כלל או עם הוכחה שאינה מלאה, כלומר הוכחה שאינה נכונה למעשה. על הסטודנטים לדעת לקבל משפטים כאלו בד"כ כנתון, ולהטמיע בעצמם את השימוש בהם בלי שהם מבינים את הוכחתם המלאה. <br />
שלב הניסוח עצמו, מתחלק גם הוא לשני תת-שלבים. ראשית ניתנים התנאים המקדימים למשפט, כלומר הסבר לגבי מתי המשפט תקף, ועל מי ומה הוא חל. שנית מובאות המסקנות הנובעות מן המשפט. לאורך כל הניסוח, חשוב להשתמש אך ורק בהגדרות מוכרות וידועות. לעיתים אין תנאים מוקדמים למשפט ואז כמובן יהיה רק החלק השני.<br />
===דוגמא===
{{משפט|
תוכן=אם n מספר זוגי גדול מ-2 אז n אינו ראשוני.}}
כאן התנאי המקדים הוא: "n מספר זוגי גדול מ-2", והמסקנה היא "n אינו ראשוני". כאן השתמשנו בהגדרה "ראשוני" אשר הוגדרה בסעיף הקודם.<br />
כעת צריכה לבוא הוכחה, וכאמור באופן ההוכחה נעסוק כאמור בהמשך.
===איך משתמשים במשפט===
כאשר רוצים להשתמש במשפט, בד"כ בפתרון תרגילים, או בכדי להוכיח משפט נוסף, חשוב מאוד לוודא שכל תנאיו מתקיימים. <br />
לדוגמא: "הוכח כי 24 אינו מספק ראשוני". יכלנו להשתמש בהגדרת "המספר הראשוני" ולהגיד שכיוון ש-24 מתחלק ב-6 הוא אינו ראשוני. אך אנו רוצים להשתמש במשפט ועל כן נגיד: "24 הוא זוגי וגדול מ-2 ולכן ע"פ המשפט לעיל הוא אינו ראשוני". <br />
שימו לב: ראשית הוכנו את קיום כל תנאי המשפט -24 הוא זוגי וגם 24 גדול מ-2. כעת מותר לנו להסיק את מסקנת המשפט - 24 אינו ראשוני. <br />
לעיתים נותנים למשפטים מספרים (בד"כ מונים את כל המשפטים בספר מסויים אחד אחריי השני), ולמשפטים חשובים נותנים שמות. כאשר משתמשים במשפט רצוי לכתוב "ע"פ משפט וירשטראס" או "ע"פ משפט 17 בפרק 5" כדי שיהיה ברור על איזה משפט מסתמכת ההוכחה.
==אקסיומה==
| |||