חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף

ניזכר בהגדרה הלא מדויקת שלנו למושג הגבול:

 

 

ונאמר "הגבול של <math>f(x)</math>, כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math>, שווה ל-<math>L</math>"

 

אם אנחנו יכולים להביא את <math>f(x)</math> קרובה ל-<math>L</math> ככל שנרצה אם ניקח <math>x</math> קרוב מספיק ל-<math>a</math> (בכל צד של <math>a</math>) אבל לא שווה ל-<math>a</math>.

 

מה זאת אומרת "להביא את <math>f(x)</math> קרובה ל-<math>L</math> ככל שנרצה" או "<math>x</math> קרוב מספיק ל-<math>a</math>"? מונחים כמו "קרוב מספיק" הם מעורפלים ולא מוגדרים היטב מתמטית. עם זאת, ההגדרה הלא מדויקת היא אינטואיטיבית ומה שנעשה כעת הוא לפרמל את האינטואיציה. ניתן הגדרה פורמלית ומדויקת למושג הגבול.

 

אם לכל מספר <math>\varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>\delta > 0</math> כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math> , אז מתקיים <math>\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon</math>.

 

[[תמונה:Epsilon-delta.PNG|left|thumb|250px|תמונה הממחישה את ההסבר להגדרת הגבול]]