חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
גיל בכר (שיחה | תרומות)
גיל בכר (שיחה | תרומות)
שורה 82:
אם לכל מספר <math>\varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>\delta > 0</math>
כך שאם <math>0 < {a - x} < \delta</math> , אז מתקיים <math>\left| {f\left( x \right) - L^{-}} \right| < \varepsilon</math>.
<br /><br />
כל אחד מהגבולות הנ"ל מכונה "גבול חד צדדי של f ב-a".
}}
 
===הקשר בין הגבול לגבולות החד צדדים===
אפשר לשים לב כי הגדרה זו דומה מאוד להגדרת הגבול, אלא שכאן אנו "מתקרבים" לנקודה a בכל פעם רק מכיוון אחד. מה הקשר בין הגבולות החד צדדים לגבול הרגיל של פונקציה? אם לפונקציה קיים גבול משני צידיה בנקודה a, הרי שבפרט ניתן "להתקרב" לכל צד בניפרד ולהגיע לאותו גבול. יתרה מכך. אם לפונקציה שני גבולות חד-צדדים בנקודה וגבולות אלו שווים - הרי שהגיוני ש'''ה'''גבול של הפונקציה קיים, ועל כך במשפט הבא:
{{משפט|
תוכן=
א. אם לפונקציה f גבול L בנקודה a, אז לפונקציה קיימים שני הגבולות החד-צדדיים בנקודה ושניהם שווים ל-L. ונסמל:
<math>
\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L \Rightarrow
\lim _{x \to a^{+}} f\left( x \right) = L \and
\lim _{x \to a^{+}} f\left( x \right) = L
</math>
<br /><br />
ב. אם לפונקציה f גבולות <math>L^{+},L^{-}</math> חד צדדים בנקודה a, ומתקיים <math>L=L^{+},L^{-}</math> אז לפונקציה גבול בנקודה והוא שווה ל-L, ונסמל:
<math>
\lim _{x \to a^{+}} f\left( x \right) = L \and
\lim _{x \to a^{+}} f\left( x \right) = L \Rightarrow
\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L
</math>
}}
 
הוכחת צד ב':<br />
נניח ל-f קיימים גבולות חד צדדיים בנקודה a - <math>L^{+},L^{-}</math>, ומתקיים <math>L \equiv L^{+},L^{-}</math> ויהי <math>\varepsilon > 0</math> כלשהו. ע"פ הגדרה קיימים <math>\delta^{+} , \delta^{-} > 0</math> כך ש:
*לכל x המקיים
 
{{אתגר|הוכח את צד א' במשפט זה.}}
 
==הגדרה מדויקת לגבולות אינסופיים==