חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הוכחות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
CommandoGuard (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
CommandoGuard (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
||
שורה 53:
מצאנו <math>\delta</math> מתאים. לפיכך, החוק מוכח לפי ההגדרה. מ.ש.ל.
===
אמרנו כי כאשר יש גבול של פונקציה המוכפלת בקבוע, ניתן להוציא את הקבוע אל מחוץ לגבול. כלומר, <math>\lim_{x\rarr a}[cf(x)] = c\lim_{x\rarr a}f(x)</math> אם קיים הגבול <math>\lim _{x \to a} f\left( x \right)</math>. אם נכתוב <math>\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L</math>, החוק אומר כי <math>\lim _{x \to a} cf\left( x \right) = cL</math>.
''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon > 0</math>. נראה שקיים <math>\delta > 0</math> מתאים כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math>, אזי <math>\left| {cf\left( x \right) - cL} \right| < \varepsilon</math>. נסדר מעט את אי השיוויון ונקבל:
<div style="direction: ltr;">
<math>\left| {cf\left( x \right) - cL} \right| = \left| {c\left[ {f\left( x \right) - L} \right]} \right| = \left| c \right|\left| {f\left( x \right) - L} \right|</math>
</div>
מכיוון שנתון <math>\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L</math>, קיים <math>\delta _1 > 0</math> כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1</math> אז <math>\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon _1</math>. לכל אפסילון יש דלתא שמתאים לו. למטרותינו בהוכחה זו, ניקח <math>\varepsilon _1 = \frac{\varepsilon }
{{\left| c \right|}}</math> (אפסילון הוא חיובי והביטוי במכנה הוא תחת ערך מוחלט) וקיים <math>\delta _1</math> שמתאים לו. נבחר <math>\delta = \delta _1</math> ואז מכיוון ש-<math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta </math> אז כמובן <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1</math>. לפיכך, מתקיים <math>\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \frac{\varepsilon }
{{\left| c \right|}}</math> וכתוצאה מכך, נקבל:
<div style="direction: ltr;">
<math>\left| {cf\left( x \right) - cL} \right| = \left| c \right|\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \left| c \right|\frac{\varepsilon }
{{\left| c \right|}} = \varepsilon
</math>
</div>
לפיכך, החוק מוכח לפי הגדרת הגבול. מ.ש.ל.
===מכפלת גבולות===
החוק למכפלת גבולות הוא הכללה של החוק למכפלת גבול בקבוע.
שורה 68 ⟵ 88:
</tr>
</table>
הנושא הבא בחשבון אינפינטיסימלי: [[חשבון אינפיניטסימלי/רציפות]]
| |||