חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
CommandoGuard (שיחה | תרומות)
מאין תקציר עריכה
גיל בכר (שיחה | תרומות)
שורה 105:
}}
 
''הוכחת צד ב':''<br />
נניח ל-f קיימים גבולות חד צדדיים בנקודה a - <math>L^{+},L^{-}</math>, ומתקיים <math>L \equiv L^{+},=L^{-}</math> ויהי <math>\varepsilon > 0</math> כלשהו. ע"פ הגדרה קיימים <math>\delta^{+} , \delta^{-} > 0</math> כך ש:
*לכל x המקיים <math>0 < {x - a} < \delta^{+}</math> , אז <math>\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon</math>.
*לכל x המקיים
*לכל x המקיים <math>0 < {a - x} < \delta^{-}</math> , אז <math>\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon</math>.
נסמן <math>\delta_0 \equiv \min(\delta^{+},\delta^{-})</math>. כעת לכל x המקיים
<math>0 < \left| x-a \right| < \delta_0</math> מתקיים בדיוק אחד משני הבאים:
*אם <math>x>a</math>, אז <math>0 < {x - a} < \delta_0 \le \delta^{+}</math>, ולכן <math>\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon</math>.
*אם <math>x<a</math>, אז <math>0 < {a - x} < \delta_0 \le \delta^{-}</math>, ולכן <math>\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon</math>.
ולכן הגבול של f הוא L, ע"פ ההגדרה.<br />
<br />
ה"טריק בו השתמשנו, היה בחירת שתי "<math>\delta</math>-ות" ולקיחת הקטנה מבינהן ע"י פונקציית המינימום. זהו "טריק" שחוזר על עצמו רבות בהוכחות בגבולות, וכדאי לזכור אותו כדי לדעת להשתמש בו בעתיד.
 
{{אתגר|הוכח את צד א' במשפט זה.}}