חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←הקשר בין הגבול לגבולות החד צדדים: תיקון ניסוח משפט |
←הגדרה מדויקת לגבולות אינסופיים: התחלת עבודה |
||
שורה 113:
==הגדרה מדויקת לגבולות אינסופיים==
נביט בפונקציה <math>h_1(x) = {{1} \over {x^2}}</math>. ברור לנו כי בנקודה x=0 עצמה הפונקציה אינה מוגדרת. ומה קורה בסביבה קרובה של x? ככל שאנו מתקרבים לנקודה x=0 הפונקציה מקבלת ערכים הולכים וגדלים. למעשה אין חסם עליון על הערכים שהפונקציה יכולה לקבל, וניתן לקבל ערך גדול כרצוננו לפונקציה. למצב זה נקרא "גבול אינסופי" ונגיד כי "h_1 שואפת לאינסוף ב-0".<br />
בצורה אנלוגית עבור <math>h_2(x) = -{{1} \over {x^2}}</math> נגיד כי "h_1 שואפת למינוס אינסוף ב-0". <br />
{{הגדה|
שם=גבול אינסופי|
תוכן=
א. תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו המכיל את המספר a, מלבד אולי ב-<math>a</math> עצמו. נאמר כי הגבול של <math>f(x)</math> כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math> הוא <math>\infty</math>, ונכתוב <math>\lim _{x \to a} f\left( x \right) = \infty</math>
אם לכל מספר <math>M > 0</math> קיים מספר <math>\delta > 0</math> כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math> , אז מתקיים <math>f\left(x) > M</math>.
<br /><br />
ב. תהי <math>g</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו המכיל את המספר a, מלבד אולי ב-<math>a</math> עצמו. נאמר כי הגבול של <math>g(x)</math> כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math> הוא <math>-\infty</math>, ונכתוב <math>\lim _{x \to a} g\left( x \right) = -\infty</math>
אם לכל מספר <math>M < 0</math> קיים מספר <math>\delta > 0</math> כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math> , אז מתקיים <math>g\left(x) < M</math>.
}}
ההגדרות אלו מגדירות את מה שנאמר במילים פשוטות בצורה מדוייקת. ההגדרות קובעות כי לפונקציה אין חסם עליון בסביבת a, ויתרה מכך לכל מספר גדול ככל שנרצה M, נוכל למצוא סביבה קטנה מספיק סביב a כך שערכי הפונקציה בסביבה זו גדלם כולם מ-M.<br />
הבא נראה כיצד הגדרות אלו באות לידי ביטוי בדוגמא למעלה, עבור הפונקציה h_1:<br />
יהי M_0>0 כלשהו. נסמן <math>\delta_0 \equiv \min(1, {1 \over M_0})</math>
{{אתגר|הוכח עבור h_2 המוגדרת מעלה כי <math>\lim _{x \to 0} h_2(x) = -\infty</math>.}}
===גבולות חד צדדיים באינסוף===
==הגדרה מדויקת לגבולות באינסוף==
| |||