חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הוכחות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
CommandoGuard (שיחה | תרומות)
מ מכפלת גבולות
CommandoGuard (שיחה | תרומות)
מ מנת גבולות.
שורה 129:
===מנת גבולות===
 
החוק למנת גבולות אומר כי אם הגבול <math>\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L</math>, הגבול <math>\lim _{x \to a} g\left( x \right) = M</math> ו-<math>M \ne 0</math>, אזי <math>\lim _{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}
{{g\left( x \right)}} = \frac{{\lim _{x \to a} f\left( x \right)}}
{{\lim _{x \to a} g\left( x \right)}} = \frac{L}
{M}</math>.
 
''הוכחה'': ראשית נראה כי <math>\lim _{x \to a} \frac{1}
{{g\left( x \right)}} = \frac{1}
{M}</math> (אם נראה זאת, שימוש בחוק למכפלת גבולות יסיים את העבודה). כדי לעשות זאת, עלינו להראות כי בהינתן <math>\varepsilon > 0</math> קיים <math>\delta > 0</math> מתאים כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math> אז <math>\left| {\frac{1}
{{g\left( x \right)}} - \frac{1}
{M}} \right| < \varepsilon
</math>. על ידי מכנה משותף, נקבל:
<div style="direction: ltr;">
 
<math>\left| {\frac{1}
{{g\left( x \right)}} - \frac{1}
{M}} \right| = \left| {\frac{{M - g\left( x \right)}}
{{Mg\left( x \right)}}} \right| = \frac{{\left| {M - g\left( x \right)} \right|}}
{{\left| {Mg\left( x \right)} \right|}} = \frac{{\left| {g\left( x \right) - M} \right|}}
{{\left| {Mg\left( x \right)} \right|}}</math>
</div>
 
את הביטוי במונה אנחנו יכולים להגביל באמצעות הגבול של g. אבל אנחנו גם צריכים לדאוג לכך שהמכנה לא יהיה קטן כאשר x בסביבת a. מכיוון שנתון <math>\lim _{x \to a} g\left( x \right) = M</math> ו-<math>M \ne 0</math>, קיים מספר <math>\delta _1 > 0</math> כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1</math> אז <math>\left| {g\left( x \right) - M} \right| < \frac{{\left| M \right|}}
{2}</math>. מכאן:
 
<div style="direction: ltr;">
<math>\left| M \right| = \left| {M - g\left( x \right) + g\left( x \right)} \right| \le \left| {M - g\left( x \right)} \right| + \left| {g\left( x \right)} \right| < \frac{{\left| M \right|}}
{2} + \left| {g\left( x \right)} \right|
</math>
 
</div>
 
לכן, <math>\left| {g\left( x \right)} \right| > \left| M \right| - \frac{{\left| M \right|}}
{2} = \frac{{\left| M \right|}}
{2}</math> כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1</math>. לכן, עבור ערכים אלו של x, מתקיים:
 
<div style="direction: ltr;">
<math>\frac{1}
{{\left| {Mg\left( x \right)} \right|}} = \frac{1}
{{\left| M \right|\left| {g\left( x \right)} \right|}} < \frac{1}
{{\left| M \right|}} \cdot \frac{2}
{{\left| M \right|}} = \frac{2}
{{M^2 }}
</math>
 
</div>
 
כמו-כן, קיים מספר <math>\delta _2 > 0</math> כך שמתקיים <math>\left| {g\left( x \right) - M} \right| < \frac{{M^2 }}
{2}\varepsilon</math> כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _2</math>. נבחר <math>\delta = \min \left\{ {\delta _1 ,\delta _2 } \right\}</math> ואז אם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math> אז <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1</math> וגם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _2</math>, לפיכך מתקיים:
 
<div style="direction: ltr;">
<math>\left| {\frac{1}
{{g\left( x \right)}} - \frac{1}
{M}} \right| = \frac{{\left| {g\left( x \right) - M} \right|}}
{{\left| {Mg\left( x \right)} \right|}} < \frac{2}
{{M^2 }}\frac{{M^2 }}
{2}\varepsilon = \varepsilon</math>
</div>
 
הוכחנו <math>\lim _{x \to a} \frac{1}
{{g\left( x \right)}} = \frac{1}
{M}</math>. כעת נשתמש בחוק למכפלת גבולות ונקבל:
 
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim _{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}
{{g\left( x \right)}} = \lim _{x \to a} \left[ {f\left( x \right) \cdot \frac{1}
{{g\left( x \right)}}} \right] = \lim _{x \to a} f\left( x \right) \cdot \lim _{x \to a} \frac{1}
{{g\left( x \right)}} = L \cdot \frac{1}
{M} = \frac{L}
{M}</math>
</div>
 
מ.ש.ל
 
==משפטים מתקדמים==