חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הוכחות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
CommandoGuard (שיחה | תרומות) מ המשך |
CommandoGuard (שיחה | תרומות) סיום העמוד (אלא אם כן יש למישהו רעיונות להוסיף משהו). משהו התפקשש ברווחים בהוכחה האחרונה. אם מישהו יודע איך לתקן את זה,... |
||
שורה 224:
===כלל הסנדוויץ'===
ניזכר בכלל הסנדוויץ'. הכלל אומר:
<div style="text-align: center;">
'''כלל הסנדוויץ'''': אם <math>\ h(x) , g(x) , f(x) </math> הן פונקציות המקיימות:
:<math>\ h(x) \le f(x) \le g(x)</math> וכן <math>\lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} g(x) = L</math>
אז הגבול של <math>\ f</math> בנקודה <math>\ a</math> קיים וערכו <math> \lim_{x \to a} f(x) = L </math>
</div>
<table id=toc width = 75% border = 1 align="center">
למרות שמדובר בכלל רב עוצמה, ההוכחה שלו היא פשוטה ואלגנטית.
<br />
<br />
''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon > 0</math>. מכיוון שנתון <math>\lim _{x \to a} g\left( x \right) = L</math>, קיים מספר <math>\delta _1 > 0
</math> כך שמתקיים <math>\left| {g\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon</math> כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1</math>. כלומר, <math>L - \varepsilon < g\left( x \right) < L + \varepsilon</math> כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1</math>.
<br />
<br />
מכיוון שנתון <math>\lim _{x \to a} h\left( x \right) = L</math>, קיים מספר <math>\delta _2 > 0
</math> כך שמתקיים <math>\left| {h\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon</math> כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _2</math>. כלומר, <math>L - \varepsilon < h\left( x \right) < L + \varepsilon</math> כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1</math>.
<br />
<br />
נבחר <math>\delta = \min \left\{ {\delta _1 ,\delta _2 } \right\}</math>. אם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math> אז <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1 </math> וגם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _2 </math>, לפיכך:
<div style="direction: ltr;">
<math>L - \varepsilon < h\left( x \right) \le f\left( x \right) \le g\left( x \right) < L + \varepsilon</math>
</div>
מכאן,
<div style="direction: ltr;">
<math>L - \varepsilon < f\left( x \right) < L + \varepsilon</math>
</div>
לפיכך, <math>\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon</math> כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math>. לכן,
<math>\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L</math>. מ.ש.ל.
<tr>
|