חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף

ונאמר "הגבול של <math>\ f(x)</math>, כאשר <math>\ x</math> שואף ל-<math>\ a</math>, שווה ל-<math>\ L</math>"

אם אנחנו יכולים להביא את <math>\ f(x)</math> קרובה ל-<math>\ L</math> ככל שנרצה אם ניקח <math>\ x</math> קרוב מספיק ל-<math>\ a</math> (בכל צד של <math>\ a</math>) אבל לא שווה ל-<math>\ a</math>.

מה זאת אומרת "להביא את <math>\ f(x)</math> קרובה ל-<math>\ L</math> ככל שנרצה" או "<math>\ x</math> קרוב מספיק ל-<math>\ a</math>"? מונחים כמו "קרוב מספיק" הם מעורפלים ולא מוגדרים היטב מתמטית. עם זאת, ההגדרה הלא מדויקת היא אינטואיטיבית ומה שנעשה כעת הוא לפרמל את האינטואיציה. ניתן הגדרה פורמלית ומדויקת למושג הגבול.

תהי <math>\ f</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו המכיל את המספר a, מלבד אולי ב-<math>\ a</math> עצמו. נאמר כי הגבול של <math>\ f(x)</math> כאשר <math>\ x</math> שואף ל-<math>\ a</math> הוא <math>\ L</math>, ונכתוב <math>\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L</math>

אם לכל מספר <math>\varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>\ \delta > 0</math> כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math> , אז מתקיים <math>\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon</math>.

כאשר אמרנו "להביא את <math>\ f(x)</math> קרובה ל-<math>\ L</math> ככל שנרצה", למה הכוונה ב"ככל שנרצה"? אנחנו יכולים להביא את <math>\ f(x)</math> למרחק 0.1 מ-<math>\ L</math>, מרחק 0.00001 ולמעשה, מרחק קטן ככל שנרצה. את המרחק הזה מסמל בהגדרה הנ"ל אפסילון <math>\varepsilon</math>, אות יוונית המשמשת לרוב לציון ערכים קטנים מאוד, למרות שאין זה מן הנמנע כי אפסילון יהיה מספר גדול מאוד. <math>\left| {f\left( x \right) - L} \right|</math> הוא המרחק של <math>\ f(x)</math> מ-<math>\ L</math> ואנו אומרים שהגבול קיים אם אנחנו יכולים לעשות את המרחק הזה קטן ככל שנרצה (קטן מכל אפסילון שהוא). אם נפתח את הערך המוחלט ונעביר את <math>L</math> הצידה, נקבל:<br />

כלומר, הערכים אשר <math>\ f(x)</math> מקבלת נמצאים בין <math> L- \varepsilon </math> לבין <math> L+ \varepsilon </math>, וזהו הדבר שבדיוק חיפשנו - <math>\ f(x)</math> קרובה ל-<math>\ L</math> עד כדי המרחק <math> \varepsilon </math>.<br />

מתי מתרחשת קרבה זו, ע"פ ההגדרה? כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math> ולאחר פתיחת הערך המוחלט והעברת <math>\ a</math> הצידהL

<math>\ a- \delta < x < a + \delta</math>

כלומר עבור ערכי <math>\ x</math> שהם קרובים ל-a מאוד, למעשה קרובים עד כדי המרחק הקטן <math>\ \delta</math>.

===עוד על בחירת <math>\varepsilon</math> ו-<math>\ \delta</math>===

מניין מגיע המספרים <math>\varepsilon</math> ו-<math>\ \delta</math> ואיך בוחרים אותו? האם כל מספר יתאים להם?<br />

למי שעדיין אינו בקיא בהוכחות מתמטיות מדוייקות, יתכן שהשימוש בשני מספרים כללים נראה מפחיד בתחילה. נחזור כעת למשפט השני מתוך ההגדרה: "...לכל מספר <math>\varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>\ \delta > 0</math> ..." <br />

המספר <math>\varepsilon</math> אינו נבחר על ידנו, אם כן. <math>\varepsilon</math> אשר מייצג את המרחק של <math>\ f(x)</math> מהערך <math>\ L</math> יכול להיות כל מספר. כאשר נוכיח את קיומו של גבול כלשהו נצטרך למצוא עבור מספר <math>\varepsilon</math> כללי, מספר אחר <math>\delta</math>, מתאים לו (כפי שכתוב בהגדרה) אשר מקיים את שאר תנאי המשפט. <math>\ \delta</math> אם כן, הוא מספר אשר '''כן''' נבחר על ידנו, אבל לא כל <math>\ \delta</math> יתאים, ונצטרך לבחור אותו בחוכמה, ועל כך בדוגמא.

ראשית, מהם הערכים שהפונקציה מקבלת? לכל <math>x \ne 0</math> נקבל כי <math>\ f(x) = \frac {{x}}{{x}} = 1</math> . ניתן להיות תחת הרושם '''השגוי''' כי למעשה <math>\ f(x) = 1</math> לכל <math>x</math>, אבל שימו לב מה קורה עבור <math>x = 0</math>: <math>f(0) = \frac {{0}}{{0}}</math> , וכפי שלמדנו בביה"ס היסודי, '''אין לחלק ב-0 לעולם'''. לכן ב-0 הפונקציה אינה מוגדרת. עם זאת, אנו "מרגישים" שכאשר נתקרב ל-0 "מאוד" עדיין נשמר הכלל <math>f(x) = 1</math> ולכן "מתבקש" כי <math>\lim_{x\rarr 0}f(x)=1</math> . כעת נוכיח זאת בצורה מדוייקת, בעזרת ההגדרה המדוייקת שלמדנו. <br />

<math>\ \delta > 0</math> מתאים) עבור כל <math>\varepsilon</math> הגדול מאפס. יש כמובן אינסוף ערכי <math>\varepsilon</math> שעבורם עלינו למצוא. אנו בוחרים איפה <math>\varepsilon_0 > 0</math> שרירותי, ומוצאים עבורו <math>\ \delta_0</math> מתאים. אם עבור <math>\varepsilon_0</math> שרירותי שנבחר נמצא המבוקש - הרי שניתן להגיד שלכל <math>\varepsilon > 0</math> ניתן למצוא את המבוקש וסיימנו את ההוכחה. <br />

ובכן, נבחר עבור ה- <math>\varepsilon_0</math> שלנו, <math>\ \delta=\varepsilon_0</math>. מתעוררות שתי שאלות:

# האם זהו <math>\ \delta</math> מתאים?

# האם זהו ה-<math>\ \delta</math> היחידי שניתן לבחור?

עבור כל <math>\ x</math> המקיים <math>0 < \left| {x - 0} \right| < \delta = \varepsilon_0</math> בפרט מתקיים <math>0 < \left| {x - 0} \right| = \left| {x} \right|</math> , כלומר ש- <math>x \neq 0</math> ולכן <math>\ f(x) = 1</math> כפי שהוסבר קודם, ולכן