חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף

ראשית, מהם הערכים שהפונקציה מקבלת? לכל <math>x \ne 0</math> נקבל כי <math>\ f(x) = \frac {{x}}{{x}} = 1</math> . ניתן להיות תחת הרושם '''השגוי''' כי למעשה <math>\ f(x) = 1</math> לכל <math>x</math>, אבל שימו לב מה קורה עבור <math>x = 0</math>: <math>f(0) = \frac {{0}}{{0}}</math> , וכפי שלמדנו בביה"ס היסודי, '''אין לחלק ב-0 לעולם'''. לכן ב-0 הפונקציה אינה מוגדרת. עם זאת, אנו "מרגישים" שכאשר נתקרב ל-0 "מאוד" עדיין נשמר הכלל <math>\ f(x) = 1</math> ולכן "מתבקש" כי <math>\lim_{x\rarr 0}f(x)=1</math> . כעת נוכיח זאת בצורה מדוייקת, בעזרת ההגדרה המדוייקת שלמדנו. <br />

לשאלתנו השנייה - התשובה היא "לא". שימו לב שבהוכחה לא השתמשנו כלל בעובדה ש- <math>\left| {x - 0} \right| < \delta = = \varepsilon_0</math> , כלומר לא נזקקנו לגודל מסויים של <math>\delta</math> , ולמעשה יכולנו לבחור כל ערך עבורו, בפרק לקבוע ערכים קבועים כמו <math>\delta = 32</math>. זה '''לא''' יהיה המצב תמיד, ולעיתים נהיה חייבים לקבוע מגבלות מסויימות על ערכי <math>\delta</math> המתאימים. אם זאת, שימו לב שאם <math>\delta = \delta_0</math> מתאים ל- <math>\varepsilon = \varepsilon_0</math> מסויים הרי שגם <math>\delta = \frac {{\delta_0}}{{2}}</math> יתאים ולכן תמיד הבחירה של <math>\delta</math> אינה יחידה.