חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/מספרים רציונליים ואי-רציונליים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←הקדמה: - תיקונים קטנים |
|||
שורה 76:
(ביחד עם (*) מתחילת ההוכחה) <math>\ a<\frac{m}{n}<b \Leftarrow </math> ומצאנו מספר רציונלי כנדרש.</br>
על מנת למצוא מספר אי-רציונלי נחזר על התהליך, רק עם <math>\ \frac{\sqrt{2}}{n} </math> במקום <math>\ \frac{1}{n} </math>: נבחר <math>\ n </math> כך שיתקיים: <math>\ 0<\frac{\sqrt{2}}{n} <b-a </math>. קיים <math>\ n </math> כזה, משום שלפי הלמה קיים <math>\ n </math> המקיים <math>\ 0<\frac{1}{n} <c </math> <u>לכל </u> <math>\ c </math>, לכן גם עבור <math>\ c= \frac{b-a}{\sqrt{2}} </math>. ואז: <math>\ 0<\frac{1}{n}<\frac{b-a}{\sqrt{2}} </math> <math>\ 0<\frac{\sqrt{2}}{n}<{b-a} \Leftarrow </math>.</br>
ושוב: נבחר <math>\ m\in\mathbb{N}</math> כך ש- <math>\ \frac{\sqrt{2}(m-1)}{n} <a< \frac{\sqrt{2} m}{n} </math> וכולי... והטענה הוכחה. ▪</br>
| |||