חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
גיל בכר (שיחה | תרומות)
גיל בכר (שיחה | תרומות)
שורה 230:
אם לכל מספר <math>\varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>\ N > 0</math> כך שאם <math>\ N < x</math> , אז מתקיים <math>\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon</math>.<br />
ב. תהי <math>\ g</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה <math>(-\infty,a)</math>. נאמר כי הגבול של <math>\ g(x)</math> כאשר <math>\ x</math> שואף ל-<math>\ -\infty</math> הוא <math>\ L</math>, ונכתוב <math>\lim _{x \to -\infty} g(x) = L</math>
אם לכל מספר <math>\varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>\ 0N < N0</math> כך שאם <math>\ x < N</math> , אז מתקיים <math>\left| {g\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon</math>.
}}
 
שורה 239:
הבא נדגים על <math>\ h_3(x)</math>: <br />
יהי <math>\varepsilon_0 > 0</math> כלשהו. נגדיר עבורו <math>N_0={1 \over \delta_0}</math>. ויהי <math>\ x_0</math> כלשהו, המקיים <math>\ x_0 > N_0</math>. ואז <math>h_3(x_0) = {1 \over x_0} = {1 \over N_0} < \varepsilon</math>
 
==הגדרה מדוייקת לגבולות אינסופיים באינסוף==
כשם שהגדרנו גבול אינסופי, שם אמרנו שבסביבה מסויימת אין לפונקציה חסם, נגדיר לפונקציה "גבול אינסופי באינסוף" אם ערכיה הולכים וגדלים ללא הגבלה כאשר x גדל.
 
{{הגדרה|
שם=גבול אינסופי באינסוף|
תוכן =
תהי <math>\ f</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה <math>(a,\infty)</math>. נאמר כי הגבול של <math>\ f(x)</math> כאשר <math>\ x</math> שואף ל-<math>\ \infty</math> הוא <math>\ \infty</math>, ונכתוב <math>\lim _{x \to \infty} f(x) = \infty</math>
אם לכל מספר <math>\ M > 0</math> קיים מספר <math>\ N > 0</math> כך שאם <math>\ N < x</math> , אז מתקיים <math>\ f(x) > M</math>.
}}
 
לדוגמא, נביט ב- <math>\ h_4(x) = x</math>. נוכיח שהיא שואפת לאינסוף באינסוף.<br />
יהי <math>\ M_0 > 0</math> כלשהו. נגדיר עבורו <math>\ N_0 = M_0</math>. ויהי כעת x המקיים <math>\ x > N_0</math>. אז מתקיים: <math>\ h_4(x) = x > N_0 = M_0</math>. מש"ל.
 
{{אתגר|
הגדר את הגבולות:
<math>\lim _{x \to -\infty} f(x) = \infty</math>,
<math>\lim _{x \to \infty} f(x) = -\infty</math>,
<math>\lim _{x \to -\infty} f(x) = -\infty</math> }}
 
==קישורים חיצוניים==