חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הוכחות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 246:
ניזכר בכלל הסנדוויץ'. הכלל אומר:
{{משפט|שם=כלל הסנדוויץ'|
תוכן=
שורה 279 ⟵ 278:
<math>\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L</math>. מ.ש.ל.
====שימושים לכלל הסנדוויץ'====
המשפט הבא הינו משפט חשוב מאוד, אשר הוכחתו קלה בעזרת כלל הסנדוויץ':
{{משפט|שם=פונקציה אפסה מוכפלת בחסומה|
תוכן=
תהינה <math>\ f(x),g(x)</math> פונקציות המוגדרות בקטע המכיל נקודה a, אך לא בהכרח בנקודה, כך ש- <math>\lim_{x \to a} f(x) = 0</math>, וכן <math>\ g(x)</math> '''חסומה''' בקטע. אז קיים הגבול <math>\lim_{x \to a} [f(x) \times g(x)]</math> והוא שווה ל-0.
}}
''הוכחה:'' <math>\ g(x)</math> חסומה בקטע, נניח ע"י חסם M כך ש- <math>\ -M \le g(X) \le M</math>. לכן <math>-M \times f(x) \le g(x) \times f(x) \le M \times f(x)</math>.<br />
מקיום הגבול <math>\lim_{x \to a} f(x) = 0</math> אנו מסיקים בעזרת האריתמטיקה של הגבולות כי <math>\lim_{x \to a} [M \times f(x)] = 0</math> ו- <math>\lim_{x \to a} [-M \times f(x)] = 0</math>.<br />
ונקבל ע"פ כלל הסנדוויץ' <math>\lim_{x \to a} [f(x) \times g(x)] = 0</math>. מש"ל.<br />
שימו לב שעל <math>\ g(x)</math> אנו יודעים רק שהיא חסומה, אך אינה בהכרח בעלת גבול בנקודה, ולמעשה היא גם לא חייבת להיות בעלת גבולות חד-צדדיים. <br />
''דוגמה:'' הוכח כי קיים הגבול <math>\lim_{x \to 0} x \sin({1 \over x})</math>, ומצא את ערכו.<br />
נסמן <math>\ f(x)=x, g(x)= \sin({1 \over x})</math>.<br />
ע"פ משפט '''"גבול של פונקציית הזהות"''' <math>\lim_{x \to 0} f(x) = 0</math>, בעוד שידוע שפונקציית הסינוס חסומה ע"י 1, ולכן נקבל כי הגבול קיים וערכו הוא 0.
==אריתמטיקה של גבולות אינסופיים==
==משפטי גבולות באינסוף==
<table id=toc width = 75% border = 1 align="center">
| |||