חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הוכחות: הבדלים בין גרסאות בדף

בפרק זה יוצגו הוכחות למשפטים שהוצגו בפרק הגבולות ללא הוכחה, כדוגמת חוקי הגבולות וכלל הסנדוויץ'.

 

 

את כל חוקי הגבולות שהוצגו קודם לכן ניתן להוכיח באמצעות ההגדרה המדויקת של הגבול. נוכיח כמה מהם בדרך זו.

 

 

 

אמרנו כי במידה ו-c הוא מספר קבוע, אז גבול הקבוע שווה לקבוע, כלומר:

''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon > 0</math>. נראה שקיים <math>\delta > 0</math> מתאים כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math>, אזי <math>\left| {f\left( x \right) - c} \right| < \varepsilon</math>. אבל כאן הפונקציה היא הקבוע <math>c</math>, לכן <math>\left| {f\left( x \right) - c} \right| = \left| {c - c} \right| = 0 < \varepsilon</math> שכן <math>\varepsilon</math> מראש גדול מאפס. לכן, החוק מתקיים תמיד, לא משנה איזה <math>\delta</math> נבחר. מ.ש.ל.

 

ep

קבענו כי הגבול של פונקצית הזהות <math>I\left( x \right) = x</math> שווה ל-<math>a</math>, כאשר <math>a</math> הוא המספר אליו x שואף, כלומר: .

''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon > 0</math>. נראה שקיים <math>\delta > 0</math> מתאים כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math>, אזי <math>\left| {I\left( x \right) - a} \right| < \varepsilon</math>. אבל כאן הפונקציה היא פונקצית הזהות <math>I\left( x \right) = x</math>, לכן <math>\left| {I\left( x \right) - a} \right| = \left| {x - a} \right|</math>. נבחר <math>\delta = \varepsilon</math> ואז <math>\left| {x - a} \right| = \left| {I\left( x \right) - a} \right| < \delta = \varepsilon</math>. מ.ש.ל.

 

{{משפט|שם=אריתמטיקה של גבולות סופיים|

תוכן=

}}

נוכיח את המשפט הזה לחלקיו:

 

אמרנו כי במידה והגבולות <math>\lim_{x\rarr a}f(x)</math> ו-<math>\lim_{x\rarr a}g(x)</math> קיימים וסופיים אז גבול הסכום שלהם הוא סכום הגבולות, כלומר, <math>\lim_{x\rarr a}\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \lim_{x\rarr a}f(x) + \lim_{x\rarr a}g(x)</math>. אם נכתוב <math>\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L</math> ו-<math>\lim _{x \to a} g\left( x \right) = M</math>, נראה שעלינו להוכיח כי <math>\lim _{x \to a} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M</math>.

מצאנו <math>\delta</math> מתאים. לפיכך, החוק מוכח לפי ההגדרה. מ.ש.ל.

 

 

אמרנו כי כאשר יש גבול של פונקציה המוכפלת בקבוע, ניתן להוציא את הקבוע אל מחוץ לגבול. כלומר, <math>\lim_{x\rarr a}[cf(x)] = c\lim_{x\rarr a}f(x)</math> אם קיים הגבול <math>\lim _{x \to a} f\left( x \right)</math>. אם נכתוב <math>\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L</math>, החוק אומר כי <math>\lim _{x \to a} cf\left( x \right) = cL</math>.

לפיכך, החוק מוכח לפי הגדרת הגבול. מ.ש.ל.

 

 

החוק להפרש גבולות אומר כי אם <math>\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L</math> ו-<math>\lim _{x \to a} g\left( x \right) = M</math>, אז <math>\lim _{x \to a} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M</math>.

המעבר השני הוא שימוש בחוק לסכום גבולות. המעבר השלישי הוא שימוש בחוק למכפלה בקבוע (1- הועבר אל מחוץ לגבול). מ.ש.ל.

 

 

החוק למכפלת גבולות הוא הכללה של החוק למכפלת גבול בקבוע (אם אחת מהפונקציות המוכפלות היא קבוע). החוק אומר כי אם <math>\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L

מ.ש.ל.

 

 

החוק למנת גבולות אומר כי אם הגבול <math>\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L</math>, הגבול <math>\lim _{x \to a} g\left( x \right) = M</math> ו-<math>M \ne 0</math>, אזי <math>\lim _{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}

מ.ש.ל

 

 

===מונוטוניות של גבולות===