מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חקירת משוואות/חקירת משוואה ריבועית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 16:
*<math>\;a\neq 0</math> וגם <math>\;\Delta=0</math>
למשוואה אין אף פתרון ממשי אם ורק אם <math>\;\Delta<0</math>
הבה נראה כיצד ניתן להשתמש בסכימה זו בפתרון בעיה של ממש.
{{אתגר|מדוע סכימה זו נכונה? תנו הסבר מתמטי מדוע כל אחד מהתנאים גורם לכך שהדרישה תתקיים, למשל מדוע הדרישה שהדיסקרימיננטה קטנה מ-0 גורמת לכך שלא יהיה פתרון.}}
====דוגמא 1====
נתונה המשוואה הריבועית <math>\;m^2 x^2 + (2m-5)x+1=0</math>. עבור אילו ערכים של <math>\;m</math> יש למשוואה שני פתרונות בדיוק?<br />
שורה 101:
ובזאת פתרנו את הסעיף הראשון. נמשיך ונפתור - עבור אילו ערכים של <math>\;m</math> יש למשוואה פתרון יחיד?
<br>
אם <math>\;a=0</math> אז זה אומר ש-<math>\;6-m=0</math> וזה אומר ש-<math>\;m=6</math> ולכן גם מתקיים ש-<math>b=m-3=3\neq 0</math> ולכן ישנו פתרון יחיד במקרה ש-<math>\;m=6</math> אך
נדרוש <math>\;a\neq 0</math> כלומר, <math>6-m\neq 0</math> ונקבל ש-
<math>m\neq 6</math>. עלינו גם לדרוש ש-<math>\;\Delta=0</math> ולכן <math>m^2-2m-15=0</math>. פתרונות המשוואה הם כאמור <math>\;5</math> ו-<math>\;-3</math>. על פי הסכימה, על מנת שיתקבל פתרון יחיד צריך ששני התנאים יתקיימו יחדיו אבל מכיוון שאם <math>\;x=5</math> או ש-<math>\;x=-3</math> הרי שברור שגם מתקיים ש-<math>\;x\neq 6</math>.
שורה 107:
מכאן שהתשובה לסעיף זה היא ה'''איחוד''' של שתי התשובות וזה אומר: <math>\;m=6</math> או <math> \;m=-3</math> או <math>\;m=5</math>.<br />
את הסעיף האחרון ניתן לפתור בעזרת המידע שכבר קיים מפתרון הסעיפים הקודמים. פתרון הסעיף הזה הוא בדיוק ה'''משלים''' (אם אינך זוכר מהו '''משלים''' חזור לפרק [[אלגברה תיכונית/קבוצות ותחומים|קבוצות ותחומים]]) של הקבוצה של כל הפתרונות הקודמים. נזכר ונראה שאיחוד הפתרונות הוא <math>\;-3<m<5</math> או <math>\;m=6</math> או <math>\;m=-3</math> או <math>\;m=5</math>. מ[[אלגברה תיכונית/קבוצות ותחומים/איחוד וחיתוך#הקבוצה המשלימה וחוקי דה-מורגן|חוקי דה-מורגן]] מתקבל שהמשלים (שהוא גם ה'''פתרון''') הוא: (<math>\;m>5</math> או <math>\;m<-3</math>) וגם <math>\;m\neq 6</math> וגם <math>\;m\neq -3</math> וגם <math>\;m\neq 5</math>
תלמיד המתקשה בשימוש בחוקי דה-מורגן יכול כמובן לעבוד על פי הסכימה שכתובה לעיל והתשובה שתתקבל תהיה שקולה.
===חקירת משוואות באמצעות נוסחאות וייטה===
במקרים מסויימים אנו נדרשים לקבוע את סוג הפתרונות המתקבלים ממשוואה ריבועית, כלומר לעיתים נשאל שאלות בסגנון: "עבור אילו ערכים של הפרמטר <math>\;m</math> למערכת ישנם שני פתרונות חיוביים?". במקרה זה עלינו לנצל את הידע שרכשנו בחקירת משוואה ריבועית ובידע נוסף שהוא נוסחאות וייטה. נוסחאות וייטה נותנות לנו מידע על סכום הפתרונות של משוואה ריבועית ועל מכפלת הפתרונות של משוואה ריבועית.
נזכר, אם כן, בנוסחאות וייטה. אם נתונה משוואה ריבועית:
<center>
<math>
\;ax^2+bx+c=0
</math>
</center>
הרי שנוסחאות וייטה הן:
<center>
<math>
x_1+x_2=-\frac{b}{a}
</math>
<br>
<math>
x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}
</math>
</center>
מכאן קל לקבל כמה תנאים לגבי תכונת הסימן של הפתרונות. למשל, על מנת שלשני הפתרונות יהיו סימנים הפוכים, עלינו לדרוש שמכפלתם תהיה שלילית. יש לשים לב כי אם ניתנה לנו שאלה, הדרישות שלנו על הפתרונות חייבים להיות גם מספיקים וגם הכרחיים, כלומר שאם הם מתקיימים אז תנאי השאלה מתקיימים ואם תנאי השאלה מתקיימים אז התנאים מתקיימים. כלומר, אם נתבקשנו למצוא את התנאי שנוסח כ"פתרונות המשוואה שוני סימן" הרי שאם הפתרונות שוני סימן אז ברור שמכפלתם היא שלילית, ומאידך ברור שאם מכפלתם שלילית אז הם בוודאי שוני סימן. בכל שאלה עלינו לוודא שאכן התנאי עובד לשני הכיוונים.
====דוגמא 3====
נחזור לדוגמא הראשונה שהוצגה בסעיף זה. <math>\;m^2 x^2 + (2m-5)x+1=0</math>. עלינו למצוא עבור אילו ערכים של <math>\;m</math> למשוואה פתרונות שוני סימן. כבר הערנו שבמקרה זה עלינו לדרוש שמכפלתם תהיה שלילית, כלומר <math>x_1 \cdot x_2 <0</math> או, לפי נוסחאות וייטה
<center>
<math>
\frac{c}{a}<0
</math>
</center>
כלומר
<center>
<math>
\frac{1}{m^2}<0
</math>
</center>
אי שיוויון זה אינו מתקיים לעולם ולכן אנו מסיקים שלא קיימים ערכים של <math>\;m</math> שעבורם לפתרונות המשוואה סימנים הפוכים.
====דוגמא 4====
עבור אילו ערכי <math>\;m</math> למשוואה <math>\;m^2 x^2 + (2m-5)x+1=0</math> יש שני פתרונות חיוביים?
בעיה זו דומה לבעיה קודמת. עם זאת, במקרה זה עלינו לשים לב לתנאים נוספים. עלינו למצוא את התאי שעבורו למשוואה שני הפתרונות חיוביים. זה אומר שלשניהם יש אותו סימן, אך ברור שתנאי זה אינו מספיק מכיוון שגם לו מצאנו את הערכים עבורם לשני הפתרונות סימנים זהים, הרי שיתכן שהפתרונות שניהם שליליים. על מנת לוודא שהפתרונות הם אכן חיוביים, נשים לב שמספיק לדאוג ש'''סכומם''' יהיה חיובי. זאת מכיוון שאם שני הפתרונות הם בעלי סימנים זהים, אז שניהם חיוביים או שליליים באותו הזמן אז סכומם הוא חיובי רק אם שניהם חיוביים. מאידך ברור שאם שניהם חיוביים אז סכומם חיובי ובזאת קיבלנו את התנאי הנדרש. על פי נוסחאות וייטה ודוגמא קודמת ברור שעל מנת שהפתרונות הם בעלי סימנים זהים צריך להיות
<center>
<math>
\frac{c}{a}>0
</math>
</center>
כלומר
<center>
<math>
\frac{1}{m^2}>0
</math>
</center>
וזה נכון לכל <math>\;m\neq 0</math>. על מנת שסכומם יהיה חיובי נדרוש גם
<center>
<math>
\frac{b}{a}>0
</math>
</center>
כלומר
<center>
<math>
\frac{2m-5}{m^2}>0
</math>
</center>
ניתן לכפול ב-<math>\;m^2</math> כי הוא חיובי ולכן
<center>
<math>
\ m>\frac{5}{2}
</math>
</center>
ועל כן התשובה היא <math>
\ m>\frac{5}{2}
</math>.
{{תוכן|
| |||