אנליזה נומרית/פתרון משוואות דיפרנציאליות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
|||
שורה 6:
==פתרון באמצעות טור טיילור==
השיטה מתבססת על פיתוח לטור טיילור של ערכי הפונקציה <math>\ y_1,y_2,...</math> סביב הנקודות <math>\ x_1,x_2,...</math>, נקודה אחר נקודה, כך שבכל צעד משתמשים בתוצאה הקודמת. שיטה כזו נקראת שיטה "חד-צעדית" (בהמשך נעסוק גם בשיטות רב-צעדיות).
לשם כך נפתח תחילה את הפונקציה לטור טיילור סביב x<sub>0</sub>:
שורה 50:
* בהתאם לגודל האופייני של הבעיה הפיזיקלית נחליט בכמה סדרי גודל על h להיות קטן יותר.
* ערכו של h יכול להשתנות מנקודה לנקודה בהתאם להתנהגות הפונקציה. אם אין גרדיאנטים חריפים מנקודה לנקדוה, ניתן לקחת מרווחים גדולים יותר בלי לפגוע משמעותית בדיוק, כך ש- <math>\ h={c \over y'}= {c \over f(x_i,y_i)}</math>, כאשר c הוא קבוע פרופורציה כלשהו.
==שיטות רב-צעדיות==
שיטות אלה, בניגוד לנ"ל, משתמשות במספר נקודות קודמות. נפתח את בסיס השיטה:
:<math>\ y'(x)=f(x,y)\quad\Rightarrow\ \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} \frac{dy}{dx}dx= \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} fdx \quad\Rightarrow\ y_{i+1}-y_i= \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} fdx</math>
נשאר, אם כן, לפתור את האינטגרל <math>\ \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} fdx</math>. לשם כך נבצע החלפת משתנים: <math>\ x=x_i+ \theta h,\ dx=hd\theta,\ 0\le\theta\le 1</math> כך שערכי f המתקבלים בין x<sub>i</sub>,x<sub>i+1</sub> ניתנים לתיאור על ידי: <math>\ f=E^{\theta} f(x_i)</math> ולכן האינטגרל מקבל את הצורה:
:<math>\ \int\limits_0^1 E^{\theta} \overbrace{f(x_i,y_i)h}^{const.}d\theta= \int\limits_0^1 (1-\nabla)^{-\theta}f(x_i,y_i)hd\theta=\int\limits_0^1 hf(x_i,y_i)\left[ 1+\theta\nabla+ \tfrac{\theta(\theta+1)}{2}\nabla^2+... \right]d\theta= </math>
:<math>\ = hf(x_i,y_i)\left.\left[ \theta+{\theta^2\over 2}\nabla+ \left( {\theta^3\over 6}+{\theta^2\over 4} \right)\nabla^2... \right]\right|_0^1= hf(x_i,y_i)\left[ 1+{\nabla\over 2}+ {5 \over 12}\nabla^2+ {9\over 24}\nabla^3+... \right]</math>
כך שככל שנקח יותר איברים, נקבל ביטוי התלוי ביותר נקודות קודמות. שימו לב כי השתמשנו באופרטור הפרשים אחוריים על מנת לקבל תלות בנקודות הקודמות.
{{גזור ושמור|שיטה רב-צעדית:<br /><math>\ y_{i+1}= y_i+ hf(x_i,y_i)\left[ 1+{\nabla\over 2}+ {5 \over 12}\nabla^2+ {9\over 24}\nabla^3+... \right]</math>}}
===דוגמה===
(להשלים)
==קישורים חיצוניים==
| |||