אנליזה נומרית/פתרון משוואות דיפרנציאליות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 76:
*על מנת להשתמש בשיטה זו עבור '''מערכת מד"ר''', נחליף את הכתיב הסקלרי בכתיב הוקטורי:
::<math>\ \vec y_{i+1}= \vec y_i+{h\over 24} \left[ 55\vec f(x_i,\vec y_i)-59\vec f(x_{i-1},\vec y_{i-1})+37\vec f(x_{i-2},\vec y_{i-2})-9\vec f(x_{i-3},\vec y_{i-3}) \right]+ O(h^5)\ ,\quad i\ge 3</math>
===שיטות נוספות===
שורה 88 ⟵ 85:
* שיטת [http://mathworld.wolfram.com/AdamsMethod.html אדאמס-באשפורת'] באתר MathWorld.
* שיטת [http://mathews.ecs.fullerton.edu/n2003/AdamsBashforthMod.html אדאמס-באשפורת'] באתר אוניברסיטת CSUF (כולל אנימציות, הוכחות ודוגמאות שימוש).
* אנימציית [http://www.cse.uiuc.edu/eot/modules/ode/adams/ אדאמס-באשפורת'] באתר אוניברסיטת אילנוי.
==שיטות מסוג מעריך-מתקן==
שיטות מעריך-מתקן (Predictor-Corrector Methods) מתבססות על פתרון האינטגרל על <math>\ y'(x)= f(x,y)dx</math>, או: <math>\ y_{i+1}= y_i+\int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} fdx</math>. השלב הבא הוא להשתמש בנוסחה מקורבת לאינטגרל על מנת להתקדם לנקודה הבאה (זכרו כי <math>\ h=x_{i+1}-x_i</math>).
* אם נשתמש בשיטת המלבן להערכת האינטגרל, נקבל:
:<math>\ y_{i+1}= y_i+ \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} fdx= y_i+ hf\left(\tfrac{x_{i+1}+x_i}{2},y_i\right)</math>
:שימו לב כי כל הפרמטרים ידועים, פרט ל-y<sub>i+1</sub>, שאותו אנו מחפשים.
* אם, לעומת זאת, נשתמש בשיטת הטרפז, נקבל:
:<math>\ y_{i+1}= y_i+ \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} fdx= y_i+ \tfrac{h}{2}[f(x_{i+1},y_{i+1})+f(x_i,y_i)]+ O(h^3)</math>
:שימו לב כי קיבלנו קשר סתום עבור y<sub>i+1</sub>, וכביכול אין באפשרותנו להמשיך.
כאן, ובכלל, במקרים בהם יש צורך להשתמש בערכים שאינם קיימים עדיין לרשותנו, נכנסת לתמונה שיטת המעריך-מתקן.
כללית, כל שיטת מעריך-מתקן מורכבת משני שלבים:
# '''מעריך''': בוחרים בשיטה כלשהי אשר מאפשרת חישוב ישיר של y<sub>i+1</sub>.
# '''מתקן איטרטיבי''': מציבים את המעריך לתוך השיטה הסתומה.
אם נבחר בשיטה כלשהי על מנת להעריך את ערכו של y<sub>i+1</sub>, כמו למשל בשיטת המלבן, נוכל להציב איטרטיבית את התוצאה בשיטת הטרפז. שיטת הטרפז תניב ערך מתוקן אשר קרוב יותר לאמיתי. ניתן להפעיל שוב את השלב האיטרטיבי, אולם לא נהוג להפעילה יותר מפעמיים. אם נדרש דיוק רב יותר, ניתן להקטין את המרווח h, ואף ניתן לעשות זאת בכל איטרציה, אך במקרה זה יש לבצע מחדש את שלב המעריך.
===קישורים חיצוניים===
* אנימציה של [http://www.cse.uiuc.edu/eot/modules/ode/pcorrect/ מעריך-מתקן] באתר אוניברסיטת אילנוי.
* הסברים באתר [http://mathforum.org/library/drmath/view/61173.html Dr. Math].
* הסברים באתר [http://phycomp.technion.ac.il/~phsorkin/thesis/node41.html הפקולטה לפיזיקה] של הטכניון.
{{אנליזה נומרית|מוגבל=כן}}
| |||