אנליזה נומרית/פתרון משוואות דיפרנציאליות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 102:
אם נבחר בשיטה כלשהי על מנת להעריך את ערכו של y<sub>i+1</sub>, כמו למשל בשיטת המלבן, נוכל להציב איטרטיבית את התוצאה בשיטת הטרפז. שיטת הטרפז תניב ערך מתוקן אשר קרוב יותר לאמיתי. ניתן להפעיל שוב את השלב האיטרטיבי, אולם לא נהוג להפעילה יותר מפעמיים. אם נדרש דיוק רב יותר, ניתן להקטין את המרווח h, ואף ניתן לעשות זאת בכל איטרציה, אך במקרה זה יש לבצע מחדש את שלב המעריך.
===שיקולי התכנסות===
ניתן לראות בביטוי הסתום עבור y<sub>i+1</sub> מעין שיטה איטרטיבית (נסמן <math>\ \hat y=y_{i+1}</math>): <math>\ \hat y_{n+1}=\Phi(\hat y_n)</math> (כל שאר הפרמטרים ידועים). וכזכור, התנאי להתכנסות הוא <math>\ |\Phi'(\hat y)|<1</math>. לדוגמה: עבור שיטת הטרפז:
:<math>\ |\Phi'(\hat y)|= \left|{h\over 2}{\partial f\over\partial y}\right|<1\ \Rightarrow\ h < \frac{2}{\tfrac{\partial f}{\partial\hat y}}</math>
ואז ההתכנסות מובטחת. על מנת להבטיח התכנסות מהירה, יש לדאוג לכך ש- <math>\ h \ll \frac{2}{\tfrac{\partial f}{\partial\hat y}}</math>.
===קישורים חיצוניים===
| |||