אנליזה נומרית/פתרון משוואות דיפרנציאליות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Mintz l (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
שורה 27:
שיטת אוילר היא פתרון באמצעות טור טיילור, כאשר לוקחים שני איברים ראשונים בלבד, דבר אשר חוסך חישוב נגזרות על חשבון פגיעה בדיוק הפתרון:
:<math>\ y_{i+1}=y_i+hy_i'+ R_2= y_i+hf(x_i,y_i)+ O(h^2)</math>
 
כאמור, בשיטה זו הדיוק אינו רב אך יתרה מזאת, השיטה לעתים קרובות לא יציבה מכיוון שעבור פתרונות שאינם די מתונים, שגיאות קטנות מוגברות ככל שמתקדמים ב-x.
 
כפי שנראה בהמשך, שיטת אוילר היא שיטת רונגה-קוטה מסדר ראשון.
 
===קישורים חיצוניים===
שורה 32 ⟵ 36:
 
==פתרון בשיטות רונגה-קוטה==
אלו הן קבוצה של שיטות רבות אשר נבדלות זו מזו בכמות החישובים שיש לבצע, ולכן גם בדיוק. שיטות אלה שימושיות במיוחד, עקב נוחיותן בכך שאינן מצריכות חישוב כל נגזרת של הפונקציה המדוברת, אלא רק חישוב ערכי הפונקציה עצמה.
 
כפי שראינו, לפי טור טיילור:
:<math>\ y_{i+1}= y_i+hf(x_i,y_i)+ \frac{h^2}{2}\left[ \frac{\partial f(x_i,y_i)}{\partial x}+ \frac{\partial f(x_i,y_i)}{\partial y}f(x_i,y_i) \right]+O(h^3)</math>
שורה 37 ⟵ 43:
:<math>\ y_{i+1}= y_i+\lambda_1hf(x_i,y_i)+ \lambda_2hf\left[x_i+\mu_1h,y_i+\mu_2hf(x_i,y_i)\right]</math>
ואת הקבועים <math>\ \lambda_1,\lambda_2,\mu_1,\mu_2</math> נמצא על ידי השוואת מקדמים. לשם כך נפתח את השיטה לטור טיילור סביב <math>\ (x_i,y_i)</math>:
:<math>\ y_{i+1}= y_i+\lambda_1hf(x_i,y_i)+ \lambda_2h \left[ f(x_i,y_i)+ \mu_1h \frac{\partial f(x_i,y_i)}{\partial x}+ \mu_2hf(x_i,y_i) \frac{\partial f(x_i,y_i)}{\partial y} +R_2O(h^2) \right]</math>
<div style="direction: ltr;">
:<math>\ \Rightarrow\ \begin{array}{lcl}
שורה 46 ⟵ 52:
</div>
 
מאחר ויש לנו 4 נעלמים ורק 3 משוואות, נקבע אחד מהם שרירותית וזאת תהיה המשוואה הרביעית. למשל, לשם נוחות, נקחעבור <math>\ \lambda_1=\tfrac{1}{2}</math> ואזנקבל את שיטת Heun, ועבור <math>\ \lambda_2lambda_1=\tfrac{1}{2}\ ,\ \mu_1=\mu_2=10</math>, כךנקבל את שהשיטהשיטת המתקבלתimproved היא:polygon.
 
===הצורה הכללית של שיטה מסדר 2===
אם נסמן <math>\begin{cases} \lambda_1=1-\kappa \\ \lambda_2=\kappa\neq 0 \\ \mu_1=\mu_2={1\over 2\kappa} \end{cases}</math> נקבל את הצורה הכללית של שיטת רונגה קוטה מסדר שני:
:<math>\ y_{i+1}=y_i+ h[(1-\kappa)f(x_i,y_i)+ \kappa f(x_i+ \tfrac{h}{2\kappa}, y_i+\tfrac{h}{2\kappa} f(x_i,y_i) +O(h^3)</math>
ואז שיטת Heun תתקבל עבור <math>\ \kappa= \tfrac{1}{2}</math> ושיטת improved polygon עבור <math>\ \kappa=1</math>.
 
===שיטת Heun (שיטה מסדר 2)===
שיטה זו נקראת גם "שיטת אוילר המשופרת" (improved Euler method). מבחינה גאומטרית, היא משתמשת בממוצע השיפועים בשתי נקודות סמוכות <math>\ (x_i,y_i),\ (x_i+h,y_i+hy_i')</math> המתקבלות משיטת אוילר. שימו לב כי: <math>\ x_{i+1}=x_i+h,\ y_{i+1}= y_i+hy_i'</math> רק בשיטת אוילר, ואילו כאן אלו שתי נקודות שונות. כאן, הנקודה <math>\ (x_{i+1},y_{i+1})</math> מתקבלת מחיתוך הקו הישר היוצא מנקודה <math>\ (x_i,y_i)</math> וששיפועו הוא הממוצע הנ"ל, עם הישר <math>\ x=x_{i+1}=x+h</math>.
 
{{גזור ושמור|'''שיטת Heun''':<br />
<math>\ y_{i+1}= y_i+ \tfrac{h}{2}(C_i,D_i)</math><br />
<math>\ C_i= f(x_i,y_i)</math><br />
<math>\ D_i=f(x_i+h,y_i+C_i)</math>}}
 
נקח <math>\ \lambda_1=\tfrac{1}{2}</math> ואז <math>\ \lambda_2=\tfrac{1}{2}\ ,\ \mu_1=\mu_2=1</math>, כך שהשיטה המתקבלת היא:
:<math>\ y_{i+1}= y_i+ \tfrac{1}{2}hf(x_i,y_i)+ \tfrac{1}{2}hf[x_i+h,y_i+hf(x_i,y_i)]+ O(h^3)</math>
 
===שיטת improved polygon (שיטה מסדר 2)===
שיטה זו נקראת גם modified Euler method. בניגוד לשיטת Heun, במקום לקחת את ממוצע השיפועים של שתי נקודות, ניקח את השיפוע של נקודת האמצע.
 
במקרה זה נקח <math>\ \lambda_1=0</math> ואז <math>\ \lambda_2=1\ ,\ \mu_1=\mu_2= \tfrac{1}{2}</math>, כך שהשיטה המתקבלת היא:
:<math>\ y_{i+1}= y_i+ hf[x_i+\tfrac{h}{2},y_i+\tfrac{h}{2}f(x_i,y_i)]+ O(h^3)</math>
 
===שיקולי דיוק===
שורה 53 ⟵ 80:
* בהתאם לגודל האופייני של הבעיה הפיזיקלית נחליט בכמה סדרי גודל על h להיות קטן יותר.
* ערכו של h יכול להשתנות מנקודה לנקודה בהתאם להתנהגות הפונקציה. אם אין גרדיאנטים חריפים מנקודה לנקדוה, ניתן לקחת מרווחים גדולים יותר בלי לפגוע משמעותית בדיוק, כך ש- <math>\ h={c \over y'}= {c \over f(x_i,y_i)}</math>, כאשר c הוא קבוע פרופורציה כלשהו.
 
===אבחנות===
* בעוד ששיטת אוילר מחשבת את הערך הבא באמצעות השיפוע בערך הנוכחי, שיטות רונגה-קוטה משתמשות במידע נוסף.
* בשיטות רונגה קוטה מסדר שני אנו מגיעים לדיוק מסדר <math>\ O(h^2)</math> באמצעות חישוב ערך הפונקציה f בשתי נקודות בלבד, לעומת שיטת טור-טיילור בה נדרשים שלושה חישובים: <math>\ f(x_i), \tfrac{\partial f(x_i)}{\partial x}, \tfrac{\partial f(y_i)}{\partial y}</math>
 
===קישורים חיצוניים===
{{מיזמים|ויקיפדיה=en:Runge–Kutta methods|שם ויקיפדיה=שיטות רונגה-קוטה (אנגלית)}}
* הסברים על [http://prosys.korea.ac.kr/~tclee/lecture/numerical/node33.html שיטת Heun] באתר אוניברסיטת קוריאה.
 
==שיטות רב-צעדיות==