מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/המישור המרוכב וההצגה הקוטבית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 137:
הוכחת נוסחה זו דורשת ידע ב[[חשבון אינפיניטסימלי]] ובפרט בתחום העוסק ב[[טור טיילור|טורי טיילור]]. בסוף חלק זה נראה את רעיון ההוכחה, אך לא נוכיח את הנוסחה בצורה מדוייקת לחלוטין. לעת עתה ננסה להבין את משמעות הנוסחה.
מהנוסחה עולה כי <math>\ e</math> בחזקת מספר מרוכב הוא בעצמו מספר מרוכב
:<math>\ r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})=r\cdot e^{i\theta}</math>.
שורה 145:
בעזרת שימוש בחוקי החזקות הבסיסיים, קל לחשב את החזקה של <math>\ e</math> עבור מספר מרוכב שנתון בצורה <math>\ a+bi</math>:
:<math>\ e^{a+bi}=e^a\cdot e^{bi}=e^a\cdot
כלומר, <math>\ e</math> בחזקת המספר <math>\ a+bi</math> הוא מספר מרוכב שאורכו <math>\ e^{a}</math> והזווית שלו עם הכיוון החיובי של ציר <math>\ x</math> היא <math>\ b</math>. הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה המקורית של <math>\ e</math> עבור מספרים ממשיים בלבד: כאשר <math>\ b=0</math> נקבל את המספר הממשי <math>\ e^{a}</math>.
| |||