מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/בניה פורמלית של המספרים המרוכבים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←הקדמה |
מ ←שדות |
||
שורה 53:
#פעולת הכפל היא '''דיסטריביוטיבית''' מעל החיבור, כלומר מתקיים <math>\ a\cdot(b+c)=ab+ac</math>. ייתכן שאתם מכירים תכונה זו בתור '''חוק הפילוג'''.
תכונות אלו מכונות '''אקסיומות השדה'''. נשים לב כי הן אינן "אקסיומות" במובן שאנו מכירים מגאומטריה - כלומר, משפטי בסיס שאין מערערים על נכונותם. אקסיומות אלו הן פשוט רשימת התכונות שמגדירות מהו שדה. יכולות להיות קבוצות רבות ושונות שעבורן התכונות הללו מתקיימות, ולכולן נקרא שדה. למשל, המספרים הרציונליים, המספרים הממשיים והמספרים המרוכבים מהווים שדות. החשיבות שבהגדרת השדה היא שאם נוכיח משפטים תוך התבססות על תכונות אלו בלבד, המשפטים יהיו נכונים עבור כל אחת מאותן קבוצות רבות ושונות
<math>\ 0\cdot a=(0+0)\cdot a=0\cdot a+0\cdot a</math> וכעת נעביר אגפים ונקבל את התוצאה. השתמשנו כאן בכך ש-<math>\ 0</math> הוא האיבר הנייטרלי (ולכן <math>\ 0+0=0</math>) ובדיסטריביוטיביות. בשל תוצאה זו איננו דורשים שיהיה הופכי גם ל-<math>\ 0</math>: מכיוון ש-<math>\ 0\cdot a=0</math> לכל <math>\ a</math>, לא ייתכן שיהיה <math>\ a</math> עבורו <math>\ 0\cdot a=1</math>! (זוהי גם הסיבה מדוע חלוקה ב-<math>\ 0</math> לרוב אינה מוגדרת עבור מספרים).
| |||