מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ד/035007/תרגיל 6: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Gadial (שיחה | תרומות)
Gadial (שיחה | תרומות)
שורה 154:
וגם
*<math>\ 1<x<\frac{3}{2}</math>
==ב==
כדי לפתור את המשוואה אנחנו רוצים להביא את שני הלוגריתמים לבסיס משותף שיהיה נוח לעבוד איתו. מכיוון שאחד הלוגריתמים כבר בבסיס 4, נעביר את השני לאותו בסיס באמצעות הנוסחה <math>\ \log_a(y)=\frac{log_b(y)}{\log_b(a)}</math>. במקרה שלנו, <math>\ a=x</math> ואילו <math>\ y=64</math>, ואנו בוחרים <math>\ b=4</math>. נקבל:
*<math>\ \log_x(64)=\frac{\log_4(64)}{\log_4(x)}=\frac{3}{\log_4(x)}</math>
 
כמו כן, על פי חוקי הלוגריתמים נקבל מהאיבר הראשון בסכום:
*<math>\ \log_4(8x)=\log_4(x)+\log_4(4)+\log_4(2)=\log_4(x)+1+\frac{1}{2}=\log_4(x)+\frac{3}{2}</math>
 
נסמן <math>\ t=\log_4(x)</math> ונקבל את המשוואה:
 
*<math>\ t+\frac{3}{2}+\frac{3}{t}=5</math>
 
נכפול ב-<math>\ t</math>, נעביר אגפים ונקבל את המשוואה:
 
*<math>\ t^2-\frac{7}{2}t+3=0</math>
 
ובכתיבה אחרת:
 
*<math>\ 2t^2-7t+6=0</math>
נפתור את המשוואה ונקבל:
 
*<math>\ t_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{49-48}}{4}=\frac{7\pm 1}{4}</math>
 
קיבלנו שני פתרונות:
 
*<math>\ t_1=2,t_2=\frac{3}{2}</math>
 
עבור הפתרון הראשון נקבל:
 
*<math>\ \log_4(x)=2</math>
 
כלומר
 
*<math>\ x=4^2=16</math>
 
עבור הפתרון השני נקבל:
 
<math>\ \log_4(x)=\frac{3}{2}</math>
 
כלומר:
 
<math>\ x=4^{3/2}=\sqrt{4^3}=\sqrt{64}=\pm 8</math>
 
ומכיוון ש-<math>\ x</math> הוא בסיס ללוגריתם רק הפתרון החיובי תקף.
 
לסיכום, קיבלנו:
 
<math>\ x_1=8,x_2=16</math>
*