הסתברות/תוחלת ומומנטים/אי שוויון מרקוב: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
מ הרחבה ודוגמה |
||
שורה 1:
אי שיוויון מרקוב נותן חסם
{{משפט|שם=אי שיוויון מרקוב|תוכן=יהי X מ"מ ו-a>0 אז מתקיים: <math>\mathbb{P}(|X| \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}(|X|)}{a}</math>.}}
דרך נוספת לחשוב על אי השוויון היא זו: אם במקום <math>\ a</math> נציב <math>\ a\mathbb{E}(|X|)</math>, נקבל את הניסוח הבא של אי השוויון:
*<math>\mathbb{P}(|X| \geq a\mathbb{E}(|X|)) \leq \frac{1}{a}</math>
כעת ניתן לחשוב על אי השוויון כחוסם את ההסתברות שהמשתנה המקרי '''יסטה מהתוחלת שלו'''. למשל, ההסתברות לכך שהמשתנה המקרי יקבל ערך הגדול פי שתיים מהתוחלת שלו קטנה מחצי.
לאי שוויון מרקוב חשיבות תיאורטית רבה, והוא משמש כבסיס להוכחת חסמים רבים אחרים, שלרוב מספקים הערכה מדוייקת יותר ממנו של החסם העליון האמיתי.
==דוגמה==
מעלית מסוגלת לשאת עד 700 ק"ג. נניח כעת שנכנסים למעלית שמונה אנשים, כך שהמשקל של כל אחד מהאנשים מתפלג באופן אחיד בין 61 ל-80 ק"ג. אנו מעוניינים בחסם עליון על ההסתברות שהמעלית תקרוס (כלומר, שהמשקל הכולל של האנשים בתוכה יהיה לפחות 700 ק"ג).
לצורך כך נגדיר שמונה משתנים מקריים <math>\ X_i</math>, שמייצגים את המשקל של כל אחד מהאנשים שנכנסו למעלית. על פי הנתון, <math>\ X_i\sim U(61,80)</math> (התפלגות אחידה בדידה) ולכן קל לראות ש-<math>\ \mathbb{E}(X_i)=70.5</math>.
כעת נגדיר משתנה מקרי חדש, <math>\ X=\sum_{i=1}^8X_i</math>, שמייצג את המשקל הכולל של האנשים שנכנסו למעלית. אנו רוצים לבדוק באיזו הסתברות משתנה זה גדול או שווה ל-700. כדי להשתמש באי שוויון מרקוב עלינו לדעת את התוחלת שלו, ואותה קל לחשב באמצעות לינאריות התוחלת:
*<math>\ \mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(\sum_{i=1}^8X_i)=\sum_{i=1}^8\mathbb{E}(X_i)=\sum_{i=1}^8(70.5)=8\cdot 70.5=564</math>
ולכן על פי אי שוויון מרקוב:
<math>\ \mathbb{P}(X\ge 700)\le\frac{564}{700}=\frac{141}{175}=0.80571</math>
חסם זה אינו טוב במיוחד - בהמשך נראה אי שוויונים שמספקים חסם טוב יותר.
| |||