אנליזה נומרית/פתרון מערכת משוואות לינאריות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 160:
\end{matrix}</math>
נזכור כי הוקטור <math>\ (\alpha_1,\alpha_2)^T</math> פותר את המערכת, ואז באמצעות המשוואות הנ"ל נוכל למצוא קשר בין שתי שגיאות עוקבות:
:<math>\ \begin{matrix}
\underline{\mbox{Jacobi}} & \qquad \underline{\mbox{G-S}} \\
\epsilon_1^{(n+1)}= -{b\over a}\epsilon_2^{(n)} & \qquad \epsilon_1^{(n+1)}= -{b\over a}\epsilon_2^{(n)} \\
\epsilon_2^{(n+1)}= -{c\over d}\epsilon_1^{(n)} & \qquad \epsilon_2^{(n+1)}= -{c\over d}\epsilon_1^{(n+1)} \\
\end{matrix}</math>
כך שעבור שיטת יעקובי מתקיים:
:<math>\ \left\{\begin{matrix}
\epsilon_1^{(n+1)} \\
\epsilon_2^{(n+1)}
\end{matrix}\right\}
= \overbrace{{b\over a}{c\over d}}^{\sigma}
\left\{\begin{matrix}
\epsilon_1^{(n-1)} \\
\epsilon_2^{(n-1)}
\end{matrix}\right\}
\qquad\Rightarrow \underline{\epsilon}^{(2n)}= \sigma^n \underline{\epsilon}^{(0)}</math>
ואילו עבור שיטת גאוס-זיידל מתקיים:
:<math>\ \left\{\begin{matrix}
\epsilon_1^{(n+1)} \\
\epsilon_2^{(n+1)}
\end{matrix}\right\}
= \overbrace{{b\over a}{c\over d}}^{\sigma}
\left\{\begin{matrix}
\epsilon_1^{(n)} \\
\epsilon_2^{(n)}
\end{matrix}\right\}
\qquad\Rightarrow \underline{\epsilon}^{(n)}= \sigma^n \underline{\epsilon}^{(0)}</math>
כלומר בעוד שבשיטת יעקובי σ היא השגיאה כעבור כל שתי איטרציות, בשיטת גאוס-זיידל σ היא השגיאה בכל איטרציה בודדת. לכן בשיטת גאוס-זיידל ההתכנסות מהירה פי 2.
===שיטת Successive Over-Relaxation===
| |||