אנליזה נומרית/פתרון מערכת משוואות לינאריות: הבדלים בין גרסאות בדף

אם <math>\ \underline{\alpha}=(\alpha_1,\alpha_2...,\alpha_N)</math> הוא הפתרון, אז <math>\ \sum_{j=1}^N a_{ij}\alpha_ialpha_j \equiv b_i</math>. נציב את וקטור השגיאה <math>\ \epsilon_i^{(n)}= x_i^{(n)}- \alpha_i</math> לתוך שיטת Jacobi:

לשם נוחות, נגדיר את השגיאה המקסימלית באיטרציה: <math>\ \Epsilon^{(n)}= \max_{1\le ij\le N, j\neq i} \left\{\left| \epsilon_iepsilon_j^{(n)} \right|\right\}</math> ואז:

:<math>\ \left| \epsilon_i^{(n+1)} \right| \le \sum_{j=1,j\neq i}^N \left|{a_{ij}\over a_{ii}}\right| \left|\epsilon_j^{(n)}\right| \le \sum_{j=1,j\neq i}^N \left|{a_{ij}\over a_{ii}}\right| \Epsilon^{(n)} \quad\Rightarrow\quad {\Epsilonepsilon_i^{(n+1)}\over\Epsilon^{(n)}} \le \sum_{j=1,j\neq i}^N \left|{a_{ij}\over a_{ii}}\right|</math>

:<math>\ {\Epsilonepsilon_i^{(n+1)}\over\Epsilon^{(n)}} \le 1 \quad\Rightarrow\quad \sum_{j=1,j\neq i}^N \left|{a_{ij}\over a_{ii}}\right| \le 1 \quad\Rightarrow\quad \sum_{j=1,j\neq i}^N |a_{ij}| \le |a_{ii}|</math>

כלומר איברי האלכסון בכל שורה במטריצה A צריכים להיות גדולים מסכום כל שאר האיברים באותה השורה, ואז ההתכנסות מובטחת. ניתן להוכיח שנתאי זה מספיק אך לא הכרחי. לתנאי זה קוראים גם בשם "שליטה אלכסונית".