אנליזה נומרית/פתרון משוואות דיפרנציאליות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Mintz l (שיחה | תרומות)
Mintz l (שיחה | תרומות)
שורה 187:
 
==יציבות של שיטות לפתרון מד"ר==
יציבות תלויה במד"ר אותה רוצים לפתור. מניחים כי הפתרון מתנהג כמו משוואת ההפרשים: <math>\ y_n= \sigma y_{n-1}=...= \sigma^n y_0</math>. כאשר נציב ביטוי זה (<math>\ y_n=c\cdot\sigma^n</math>) לשיטה, נקבל משוואה עבור &sigma; אשר תלויה ב-<math>\ f(x,y)</math> הנידון. בדרך כלל נקבל שני פתרונות עבור &sigma;, כאשר לאחד נקרא אנליטי (<math>\ \sigma_{analytic}</math>) נקרא אנליטי - והוא מבטא את הפתרון למשוואה - ולשני פרזיטי (<math>\ \sigma_{parasitic}</math>) פרזיטי - אשר מבטא את השגיאה הנרכשת בכל איטרציה ושאינה קשורה לפתרון האמיתי. התנאים ליציבות הם:
<div style="text-align: center;">
:<math>\ 0\le\sigma_{analytic}\le 1 \qquad\qquad |\sigma_{parasitic}|<1</math>
</div>
ותחום היציבות נקבע על פי קבוצת החיתוך של שני התנאים וכאשר אין חיתוך - אין יציבות.
 
הפתרון הכללי הוא מהצורה:
:<math>\ y_n=c_1\sigma_1^n+ c_2\sigma_2^n+...</math>
מאחר ו-&sigma; תלוי ב-h, נשתמש בקשר <math>\ h=\frac{x_n}{n}</math> ונשאיף את n לאינסוף על מנת לקבל את הפתרון:
:<math>\ y= \lim_{n\to\infty} y_n(x_n)</math>
 
{{אנליזה נומרית|מוגבל=כן}}