חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/מספרים רציונליים ואי-רציונליים: הבדלים בין גרסאות בדף

ניזכר בהגדרת קבוצת המספרים הרציונליים: <math>\mathbb{Q} =\left\{ \frac{p}{q} |p,q\in\mathbb{Z} \wedge q\ne 0 \right\}</math>. כזכור, מספר יקרא "רציונלי" אם הוא שייך לקבוצה זו.</br>

<u>הגדרה</u>: עבור מספרים <u>שלמים</u> <math>\ n </math> ו- <math>\ k </math>, נגיד ש- "''<math>\ k </math> מחלק את <math>\ n </math>''", אם קיים מספר שלם <math>\ l </math> המקיים: <math>\ n=l\times k</math>. סימון: <math>\ k|n</math>.

כעת נכתוב שוב את ההגדרה, בכתיב של תורת הקבוצות:

 

*שימו לב, שכאן השתמשנו בסימן "<math>\ : </math>" עבור הביטוי "כך ש", על מנת לא להתבלבל בינו ובין סימן ה"<math>\ | </math>" עבור הביטוי "מחלק את". כמו כן, השתמשנו בסימן <math>\Leftrightarrow</math>, על מנת להראות את השקילות בין הסימון לבין ההגדרה.

<u>מסקנה</u>: המספרים הרציונלים/האי-רציונלים צפופים (dense) ב- <math>\mathbb{R}</math>. </br>

<u>מסקנה מהמשפט</u>: בין כל שני מספרים שונים כלשהם, קיימים <u>אינסוף</u> מספרים רציונלים ו<u>אינסוף</u> מספרים אי-רציונלים.