|
*<math>\ S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}</math>
=מושג הגבול=
==מבוא==
ה'''גבול''' הוא המושג הבסיסי שעליו מבוסס החשבון האינפיניטסימלי. מבחינה היסטורית מושג הגבול הומצא במאה ה-19, כאשר המתמטיקאים רצו לתת ביסוס פורמלי יותר לחשבון האינפיניטסימלי, שעד אז התבסס על מושגי יסוד בעייתיים. מכיוון שזהו מושג פורמלי למדי לא קל להבין מייד את משמעותו. ננסה להציג כאן את הגישה למושג הגבול בשלבים, ואנו ממליצים כי תוודאו שאתם מבינים היטב את ההגדרה הפורמלית לפני שתמשיכו הלאה, שכן קשיים במושג זה גוררים קשיים בהמשך הלימודים.
מושג הגבול מוגדר רק עבור סדרות אינסופיות, ולכן מעתה נעסוק רק בסדרות שכאלה.
בתור דוגמה, נביט בארבע סדרות שונות:
#<math>\ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots</math>. זוהי הסדרה עם האיבר הכללי <math>\ a_n=\frac{1}{n}</math>.
#<math>\ 0,0,0,\dots</math>.
#<math>\ 1,2,3,\dots</math>
#<math>\ 1,0,1,0,\dots</math>.
נשים לב לתכונה שמאפיינת הן את הסדרה הראשונה והן את השנייה: בשתיהן אברי הסדרה "מתקרבים" אל המספר 0. הסדרה השלישית בבירור אינה מתקרבת אל 0 אלא "מתרחקת" ממנו, ואילו הרביעית "מזגזגת" - עוברת מ-1 אל 0 ובחזרה.
אנחנו אומרים כי ההבדל בין שתי הסדרות הראשונות לשתי הסדרות האחרונות הוא שה'''גבול''' של שתי הסדרות הראשונות הוא 0.
כמובן שהגדרה זו אינה מדוייקת. מה פירוש "מתקרבים"? ננסה לחדד את הנקודה.
עבור הסדרה השלישית נשים לב כי המרחק של האיבר <math>\ a_n</math> מ-<math>\ 0</math> הוא <math>\ n</math>. כלומר, ככל ש-<math>\ n</math> גדול יותר, המרחק של אברי הסדרה השלישית מ-<math>\ 0</math> הולך וגדל. לעומת זאת עבור הסדרה הראשונה המרחק הוא <math>\ \frac{1}{n}</math>, ולכן מרחק זה הולך וקטן ככל ש-<math>\ n</math> הולך וגדל.
אם כן, אנחנו רוצים למצוא דרך לנסח בצורה פורמלית את כוונתנו ב"המרחק הולך וקטן". כמו כן נשים לב כי עבור הסדרה השנייה המרחק הוא תמיד <math>\ 0</math>, ולכן אין הכרח שהמרחק ישתנה - אבל אנחנו רוצים שהוא אפס או שילך ויקטן.
=== טור הנדסי יורד ===
עכשיו, אחרי שאנחנו יודעים מהו גבול של סדרה, ניתן ללמוד על אופי סדרה הנדסית יורדת (הערך המוחלט שלה בכל אופן).
כאשר מדברים על סדרה הנדסית יורדת מדובר על סדרה הנדסית שבה מנת הסדרה נמצאת בטווח שבין מינוס אחד לאחד (לא כולל), כלומר:
<math>-1< \ q <1</math>.מספר דוגמות:
<math> \ 27, 9, 3, 1 \dots</math> שבה האיבר הראשון הוא <math> \ 27</math> והמנה היא
<math> \frac{1}{3}</math>.
<math> \ 1, -0.5, 0.25, -0.125 \dots</math> שבה האיבר הראשון הוא <math> \ 1</math> והמנה היא <math> \ - 0.5</math>.
ניתן לראות בקלות כי איברי הסידרה שואפים ל-0 ככל ש<math>\ n</math> גדל. דבר זה גורם לכך שלסכום הסדרה ההנדסית נוצר גבול כלשהו אותו לא יוכל לעבור, סכוםפ אשר אליו הסכום ישאף, ויתקרב אליו ככל שנציב
ניתן לראות בקלות, כי <math>\ n</math> גדול יותר, אך אם זאת, לא יגיע אליו לעולם, אלא באיבר האינסוף (שהוא בעצם 0). בכדי לקבל נוסחה לסכום של סדרה הנדסית שכזו, פשוט מאוד "נציב" אינסוף במקום <math>\ n</math> בנוסחה שקיבלנו קודם. קל לראות, שכאשר <math>\ |q| < 1</math>, <math> \ q^n</math> ילך ויקטן עד אינסוף, עד שבאיבר האינסוף הוא בעצן יגיע ל-0.אם כן, פשוט מאוד ניתן למחוק את התבנית הזו מהנוסחה שקיבלנו:
<math>\ S=a_1\frac{-1}{q-1}</math>, נפשט על ידי הוצאת המינוס והחלפת המיקום במכנה, ונקבל את סכומה של הסידרה ההנדסית שבה ערכה המוחלט של מנת הסדרה הוא שבר האינסופית:
* <math>\ S= \frac{a_1}{1-q}</math>.
| 