חשבון אינפיניטסימלי/גבולות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 19:
אם כן, אנחנו רוצים למצוא דרך לנסח בצורה פורמלית את כוונתנו ב"המרחק הולך וקטן". כמו כן נשים לב כי עבור הסדרה השנייה המרחק הוא תמיד <math>\ 0</math>, ולכן אין הכרח שהמרחק ישתנה - אבל אנחנו רוצים שהוא אפס או שילך ויקטן.
{{הגדרה|תוכן=
מספר ממשי <math>\ L </math> ייקרא הגבול של סדרה <math>\ a_n</math> אם בכל סביבה של <math>\ L</math> נמצאים כל אברי הסדרה פרט למספר סופי של איברים
שורה 25 ⟵ 24:
ומסומן <math>\ \lim_{n \to \infty}a_n = L</math> או <math>\ a_n \to L</math>
}}
הגדרת הגבול אכן פורמלית למדי, אך היא מבוססת על הגיון מתמטי - ואינה סתומה כפי שהיא אולי נראית בתחילה.
ראשית ניזכר בהגדרה של סביבה, סביבה היא קטע פתוח סימטרי סביב נקודה מסויימת. למשל - סביבה בגודל <math>\Epsilon </math> של <math>\ L</math> מוגדרת על ידי הקטע <math>\ \left( L - \Epsilon , L + \Epsilon \right)</math>, כלומר קבוצת כל המספרים שההפרש בינם לבין <math>\ L</math> קטן מ-<math>\Epsilon</math>. ההגדרת מדברת על כל סביבה של <math>\ L</math>, ומכיוון שלא מוגדרת סביבה בגודל אפס הרי שהכוונה היא לכל סביבה כך ש-<math>\ \Epsilon > 0</math>. ההגדרה דורשת כי בכל סביבה כזו יהיו מרוכזים כל אברי הסדרה, אך מתירה לנו להשאיר מספר איברים '''סופי''' מחוץ לסביבה, תנאי זה מבטיח שהסדרה אכן מתקרבת ל-<math>\ L</math> - אבל מדוע? כדי לענות על שאלה זו נסתכל על מספר סדרות שאינן מתכנסות -
| |||