חשבון אינפיניטסימלי/גבולות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Costello (שיחה | תרומות)
Costello (שיחה | תרומות)
שורה 30:
 
ראשית ניזכר בהגדרה של סביבה, סביבה היא קטע פתוח סימטרי סביב נקודה מסויימת. למשל - סביבה בגודל <math>\Epsilon </math> של <math>\ L</math> מוגדרת על ידי הקטע <math>\ \left( L - \Epsilon , L + \Epsilon \right)</math>, כלומר קבוצת כל המספרים שההפרש בינם לבין <math>\ L</math> קטן מ-<math>\Epsilon</math>. ההגדרת מדברת על כל סביבה של <math>\ L</math>, ומכיוון שלא מוגדרת סביבה בגודל אפס הרי שהכוונה היא לכל סביבה כך ש-<math>\ \Epsilon > 0</math>. ההגדרה דורשת כי בכל סביבה כזו יהיו מרוכזים כל אברי הסדרה, אך מתירה לנו להשאיר מספר איברים '''סופי''' מחוץ לסביבה, תנאי זה מבטיח שהסדרה אכן מתקרבת ל-<math>\ L</math> - אבל מדוע? כדי לענות על שאלה זו נסתכל על מספר סדרות שאינן מתכנסות -
* #<math>\ 1,2,3,\dots</math> - ניתן לראות בבירור שהסדרה הזו איננה מתקרבת למספר מסויים, אלא הולכת וגדלה בקצב קבוע. אך לצורך הדוגמא נניח כי אנחנו חושבים שהסדרה מתכנסת למספר גדול, נניח - <math>\ 1000000</math>, עכשיו נבחן את הסדרה על פי ההגדרה - האם בכל סביבה של <math>\ 1000000</math> נמצאים כל אברי הסדרה פרט למספר סופי של איברים? נתחיל מסביבה בגודל 1, כלומר טווח המספרים בין <math>\ 999999</math> ל-<math>\ 1000001</math>. נראה שכל האיברים עד האיבר ה-<math>\ 1000000</math> נמצאים מחוץ לסביבה שבחרנו, אבל זה עדיין לא מפריע לנו, כי מדובר בסך הכל ב<math>\ 999999</math> איברים - וזהו מספר סופי, האיבר המליון, <math>\ a_{1000000}</math> שווה בדיוק <math>\ 1000000</math> והוא נמצא בסביבה, אך כל המספרים הבאים אחריו כבר גדולים מדי - ולא נמצאים בסביבה, וכיוון שאחרי המספר <math>\ 1000000</math> קיימים עודאינסוף איברים בסדרה קיימת סביבה של <math>\ 1000000</math> שמחוץ לה נמצאים אינסוף מאברי הסדרה - ולכן הסדרה לא מתכנסת למליון. הדוגמא הזו אמנם נראית טפשית - אך חשוב להבין אותה ואת הלוגיקה שבה פעלנו כדי להוכיח ש-<math>\ 1000000</math> אינו הגבול של הסדרה, כיוון שאותה הלוגיקה תשמש אותנו בהמשך לדוגמאות מסובכות בהרבה. באותה צורה ניתן לבחור במקום <math>\ 1000000</math> כל מספר ממשי שנרצה, ולבצע את אותה ההוכחה - לכן הסדרה שלפנינו אינה מתכנסת (למעשה היא מתכנסת לאינסוף, אך טרם הגדרנו גבול אינסופי).
 
* #<math>\ 1,0,1,0,\dots</math> בסדרה זו כל איבר אי זוגי הוא 1, וכל איבר אי זוגי הוא 0. כיוון שבסדרה יש אינסוף מספרים זוגיים לכאורה ניתן לומר כי על פי ההגדרה הסדרה מתכנסת לאפס, שכן בכל סביבה של 0 קיימים אינסוף מאברי הסדרה (<math>\ a_2 = a_4 = \dots = a_2n = 0</math>) אבל! זו היא לא ההגדרה - ההגדרה דורשת שלכל סביבה של 0 כל אברי הסדרה, פרט למספר סופי של איברים יהיו בתוך הסביבה. אבל אם ניקח סביבה בגודל <math>\ 1/2</math>, כלומר טווח המספרים שבין <math>\ 1/2</math> ל-<math>\ -1/2</math>, נראה שקיימים אינסוף מאברי הסדרה מחוץ לסביבה - כל האיברים האי זוגיים שערכם <math>\ 1</math>. אבל אולי הסדרה הזו מתכנסת ל-<math>\ 1</math>? אם נבחר סביבה בגודל <math>\ 1/2</math> סביב המספר <math>\ 1</math> נראה שקיימים אינסוף מאברי הסדרה מחוץ לסביבה זו (כל האיברים הזוגיים - אלו שערכם <math>\ 0</math>).