חשבון אינפיניטסימלי/גבולות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 30:
ראשית ניזכר בהגדרה של סביבה, סביבה היא קטע פתוח סימטרי סביב נקודה מסויימת. למשל - סביבה בגודל <math>\varepsilon </math> של <math>\ L</math> מוגדרת על ידי הקטע <math>\ \left( L - \varepsilon , L + \varepsilon \right)</math>, כלומר קבוצת כל המספרים שההפרש בינם לבין <math>\ L</math> קטן מ-<math>\varepsilon</math>. ההגדרת מדברת על כל סביבה של <math>\ L</math>, ומכיוון שלא מוגדרת סביבה בגודל אפס הרי שהכוונה היא לכל סביבה כך ש-<math>\ \varepsilon > 0</math>. ההגדרה דורשת כי בכל סביבה כזו יהיו מרוכזים כל אברי הסדרה, אך מתירה לנו להשאיר מספר איברים '''סופי''' מחוץ לסביבה, תנאי זה מבטיח שהסדרה אכן מתקרבת ל-<math>\ L</math> - אבל מדוע? כדי לענות על שאלה זו נסתכל על מספר סדרות שאינן מתכנסות -
* <math>\ 1,
: קיימת סביבה של <math>\ 1000000</math> שמחוץ לה נמצאים אינסוף מאברי הסדרה - ולכן הסדרה לא מתכנסת למליון. הדוגמא הזו אמנם נראית טפשית - אך חשוב להבין אותה ואת הלוגיקה שבה פעלנו כדי להוכיח ש-<math>\ 1000000</math> אינו הגבול של הסדרה, כיוון שאותה הלוגיקה תשמש אותנו בהמשך לדוגמאות מסובכות בהרבה. באותה צורה ניתן לבחור במקום <math>\ 1000000</math> כל מספר ממשי שנרצה, ולבצע את אותה ההוכחה - לכן הסדרה שלפנינו אינה מתכנסת (למעשה היא מתכנסת לאינסוף, אך טרם הגדרנו גבול אינסופי).
* <math>\ 1,0,1,0,\dots</math> בסדרה זו כל איבר אי זוגי הוא 1, וכל איבר אי זוגי הוא 0. כיוון שבסדרה יש אינסוף מספרים זוגיים לכאורה ניתן לומר כי על פי ההגדרה הסדרה מתכנסת לאפס, שכן בכל סביבה של 0 קיימים אינסוף מאברי הסדרה (<math>\ a_2 = a_4 = \dots = a_2n = 0</math>) אבל! זו היא לא ההגדרה - ההגדרה דורשת שלכל סביבה של 0 כל אברי הסדרה, פרט למספר סופי של איברים יהיו בתוך הסביבה. אבל אם ניקח סביבה בגודל <math>\ 1/2</math>, כלומר טווח המספרים שבין <math>\ 1/2</math> ל-<math>\ -1/2</math>, נראה שקיימים אינסוף מאברי הסדרה מחוץ לסביבה - כל האיברים האי זוגיים שערכם <math>\ 1</math>.
: הסדרה לא מתכנסת לאפס - אך אולי היא מתכנסת למספר אחר? בהינתן מספר <math>\ L \ne 0</math> ניקח סביבה בגודל <math>\ L/2</math>, זו היא הסביבה <math>\ \left( L/2 , 3L/2 \right) </math> ויש אינסוף איברים (כל האיברים האי זוגיים, אלו שערכם אפס) שנמצאים מחוץ לסביבה זו - כלומר הסדרה לא מתכנסת לאפס, אך גם לא מתכנסת לאף מספר השונה מאפס - ולכן נין לומר שהסדרה <math>\ 1,0,1,0,\dots</math> אינה מתכנסת.
ראינו איך ניתן להראות מהגדרת הגבול כי סדרות מסויימות אינן מתכנסות לגבול, אך קשה יותר להראות באמצעות ההגדרה כי סדרה מסויימת מתכנסת, על מנת לעשות זאת נשתמש בניסוח שונה מעט של הגדרת הגבול -
שורה 49 ⟵ 52:
כעת נבחן מספר סדרות המתכנסות לגבול -
* <math>\ 0,0,0,\dots</math> - זו היא סדרה שבה <math>\ a_n = 0</math> ללא תלות ב-<math>\ n</math>, כלומר סדרה שבה יש אינסוף אפסים. זה בהחלט נראה מובן מאליו שהסדרה הזו שאופת לאפס, אך אנחנו עדיין צריכים להוכיח. נוכיח שגבול הסדרה הוא <math>\ 0</math> - לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ N = 0</math> כך שלכל <math>\ n > N</math> יתקיים -
<center><math>\ a_n = 0 < \varepsilon</math></center>
: למעשה פשוט חזרנו על הגדרת הגבול, כאשר בשלב האחרון הראנו כי על פי הגדרת הסדרה <math>\ a_n = 0</math> ועל פי הגדרת אפסילון מתקיים <math>\ \varepsilon > 0</math> ומכאן נובע שהגדרת הגבול מתקיימת עבור <math>\ L = 0</math> - כלומר הסדרה מתכנסת ל-<math>\ 0</math>.
* <math>\ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots</math>. זוהי הסדרה עם האיבר הכללי <math>\ a_n=\frac{1}{n}</math>
==גבולות של פונקציות==
| |||