חשבון אינפיניטסימלי/גבולות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 57:
* <math>\ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots</math>. זוהי הסדרה עם האיבר הכללי <math>\ a_n=\frac{1}{n}</math>
: כפי שכבר ציינו בתחילת הפרק גם הסדרה הזו מתכנסת לאפס, וגם זה כנראה ברור באופן אינטואיטיבי - אך ההוכחה כאן מתקדמת צעד אחד קדימה. לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ N = frac{1}{\varepsilon}</math> כך שלכל <math>\ n > N</math> יתקיים -
<center><math>\ \left| a_n - L \right| = \left| frac{1}{n} - 0 \right| = \left| frac{1}{n} \right| = frac{1}{n} < frac{1}{N} = \varepsilon</math>
: כלומר - <math>\ \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math> ולכן הסדרה מתכנסת לאפס.
: הרעיון החדש בהוכחה זו היא הצורה שבה בחרנו את <math>\ N</math> - שימו לב ש-<math>\ N</math> תלוי ב-<math>\ \varepsilon</math> (כלומר <math>\ N</math> הוא '''פונקציה של''' <math>\ \varepsilon</math>, ולכן לעיתים מסומן <math>\ N_( \varepsilon )</math>).
{{הערה|מותר לבחור את <math>\ N</math> כפונקציה של <math>\ \varepsilon</math> בגלל האופן שבו מנוסחת הגדרת ההתכנסות - "'''לכל <math>\ \varepsilon</math> '''קיים''' <math>\ N</math>..."{{ש}}
אילו ההגדרה הייתה מנוסחת "'''קיים''' <math>\ N</math> כך ש'''לכל''' <math>\ \varepsilon</math> ..." היה עלינו להגדיר <math>\ N</math> שאינו תלוי ב-<math>\ \varepsilon</math>}}
==גבולות של פונקציות==
| |||