161
עריכות
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
|
לאחר שהכרנו את מושג הגבול ואת הגדרת הגבול נעבור למספר משפטים שיציגו תכונות שונות של גבולות ושל סדרות מתכנסות -
{{משפט|תוכן=אם קיים <math>\ l \in R</math> כך שלכל <math>\ n</math> טבעי מתקיים <math>\ a_n = l</math> אזי <math>\lim_{n \to \infty}a_n = l</math>}}
{{הוכחה|לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ N = 0</math> שעבורו מתקיים -
<center><math>\ \left| a_n - L \right| = \left| l - l \right| = 0 < \varepsilon</math></center>
ולכן <math>\lim_{n \to \infty}a_n = l</math>}}
{{משפט|תוכן=אם <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math> אזי <math>\lim_{n \to \infty}\left|a_n\right| = \left|L\right|</math>}}
{{הוכחה|
על פי אי שוויון המשולש השני -
<center><math>\ \left| \left| a_n \right| - \left| L \right| \right| <= \left| a_n - L \right| ></math></center>
נתון כי <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math> לכן לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ N</math> כך שלכל <math>\ n > N</math> מתקיים - <math>\ \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math>. אזי לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> נבחר את אותו ה-<math>\ N</math>, ואז -
<center><math>\ \left| \left| a_n \right| - \left| L \right| \right| <= \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math></center>
ולכן <math>\lim_{n \to \infty}\left|a_n\right| = \left|L\right|</math>}}
{{משפט|תוכן=סדרה מתכנסת מתכנסת לגבול יחיד}}
| |||