חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 3:
{{משפט|תוכן=אם קיים <math>\ l \in R</math> כך שלכל <math>\ n</math> טבעי מתקיים <math>\ a_n = l</math> אזי <math>\lim_{n \to \infty}a_n = l</math>}}
{{הוכחה|לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ N = 0</math> שעבורו מתקיים -
<center><math>\left| a_n - L \right| = \left| l - l \right| = 0 < \varepsilon</math></center>
ולכן <math>\lim_{n \to \infty}a_n = l</math>}}
למעשה כבר ראינו דוגמא למשפט הזה בעמוד הקודם, עבור הסדרה שבה <math>\ a_n = 0</math>, המשפט תקף גם לכל מספר אחר, למשל -
: <math>a_n = \left\{ 42, 42, 42, 42 \dots \right\} </math>
מתקיים - <math>\lim_{n \to \infty}a_n = 42</math>
{{משפט|תוכן=אם <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math> אזי <math>\ \lim_{n \to \infty} \left| a_n \right| = \left| L \right| </math>}}
שורה 14 ⟵ 17:
<center><math>\left| \left| a_n \right| - \left| L \right| \right| \le \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math></center>
ולכן <math>\ \lim_{n \to \infty} \left| a_n \right| = \left| L \right| </math>}}
אם נסתכל למשל על הסדרה - <math>\ a_n = \frac{-n}{n+1}</math> -
: <math>a_n = \left\{ \frac{-1}{2} , \frac{-2}{3} , \frac{-3}{4} \dots \right\} </math>
נראה כי הגבול שלה הוא <math> -1</math>. לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> נבחר <math>\ N = \frac{1}{\varepsilon}</math> ואז יתקיים -
<center><math>\ \left| a_n - L \right| = \left| \frac{-n}{n+1} + 1 \right| = \left| \frac{ -n + n + 1}{n+1} \right| = \left| \frac{1}{n+1} \right| = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} < \varepsilon </math></center>
{{משפט|תוכן=סדרה מתכנסת מתכנסת לגבול יחיד}}
| |||