חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים: הבדלים בין גרסאות בדף

מ
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
{{חשבון אינפיניטסימלי}}
לאחר שהכרנו את מושג הגבול ואת הגדרת הגבול נעבור למספר משפטים שיציגו תכונות שונות של גבולות ושל סדרות מתכנסות -
{{משפט|תוכן=אם קיים <math>\ l \in R</math> כך שלכל <math>\ n</math> טבעי מתקיים <math>\ a_n = l</math> אזי <math>\lim_{n \to \infty}a_n = l</math>}}
{{הוכחה|לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ N = 0</math> שעבורו מתקיים -
<center><math>\left| a_n - L \right| = \left| l - l \right| = 0 < \varepsilon</math></center>
ולכן <math>\lim_{n \to \infty}a_n = l</math>}}}}
 
למעשה כבר ראינו דוגמא למשפט הזה בעמוד הקודם, עבור הסדרה שבה <math>\ a_n = 0</math>, המשפט תקף גם לכל מספר אחר, למשל -
מתקיים - <math>\lim_{n \to \infty}a_n = 42</math>
 
{{משפט|תוכן=אם <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math> אזי <math>\ \lim_{n \to \infty} \left| a_n \right| = \left| L \right| </math>}}
{{הוכחה|
על פי אי שוויון המשולש השני -
נתון כי <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math> לכן לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ N</math> כך שלכל <math>\ n > N</math> מתקיים - <math>\ \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math>. אזי לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> נבחר את אותו ה-<math>\ N</math>, ואז -
<center><math>\left| \left| a_n \right| - \left| L \right| \right| \le \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math></center>
ולכן <math>\ \lim_{n \to \infty} \left| a_n \right| = \left| L \right| </math>}}}}
 
אם נסתכל למשל על הסדרה - <math>\ a_n = \frac{-n}{n+1}</math> -
161

עריכות