חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים: הבדלים בין גרסאות בדף

אין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
נראה כי הגבול שלה הוא <math> -1</math>. לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> נבחר <math>\ N = \frac{1}{\varepsilon}</math> ואז יתקיים -
<center><math>\ \left| a_n - L \right| = \left| \frac{-n}{n+1} + 1 \right| = \left| \frac{ -n + n + 1}{n+1} \right| = \left| \frac{1}{n+1} \right| = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} < \varepsilon </math></center>
לכן <math>\lim_{n \to \infty}a_n = -1</math>. כעת אם נרצה לדעת מה הגבול של הסדרה <math>\ bnb_n = \left| a_n \right|</math> כלומר <math>\ b_n = \frac{n}{n+1}</math> כל מה שצריך הוא להשתמש במשפט כדי לדעת כי <math>\lim_{n \to \infty}b_n = 1</math>.
 
{{משפט|תוכן=סדרה מתכנסת מתכנסת לגבול יחיד
 
{{הוכחה|
נתון כי <math>\ \lim_{n \to \infty} a_n = L</math>, צריך להוכיח כי אם מתקיים גם <math>\ \lim_{n \to \infty} a_n = M </math> אזי <math>\ L = M</math>{{ש}}
 
נניח בשלילה כי <math>\ \lim_{n \to \infty} a_n = M </math>, כך ש <math>\ L \ne M</math>. ונניח בלי הגבלת הכלליות כי <math>\ M > L</math> {{ש}}
נתון כי <math>\ \lim_{n \to \infty} a_n = L</math> ולכן לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> , ובפרט עבור <math>\ \varepsilon = \frac{M-L}{2}</math> מתקיים כי כל אברי הסדרה, פרט למספר סופי של אברים נמצאים בסביבה <math>\varepsilon</math> של <math>\ L</math>, כלומר אינסוף מאברי הסדרה מקיימים <math>\ a_n < L + \frac{M-L}{2} = \frac{M+L}{2}</math>{{ש}}
נתון גם כי <math>\ \lim_{n \to \infty} a_n = M</math> ולכן לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> , ובפרט עבור <math>\ \varepsilon = \frac{M-L}{2}</math> מתקיים כי כל אברי הסדרה, פרט למספר סופי של אברים נמצאים בסביבה <math>\varepsilon</math> של <math>\ M</math>, כלומר מקיימים <math>\ a_n > M - \frac{M-L}{2} = \frac{M+L}{2}</math>{{ש}}
וזאת בסתירה לכך שאינסוף מאברי הסדרה מקיימים <math>\ a_n < \frac{M+L}{2}</math>. לכן ההנחה שגויה, ו- <math>\ M = L</math>
}}}}
 
הוכחה זו עלולה להראות מעט סתומה בתחילה, ולכן נתעמק במשפט ובהוכחה. המשפט טוען כי אם ידוע לנו כי סדרה מסויימת שואפת לגבול מסויים - לא ייתכן כי אותה הסדרה תשאף גם לגבול אחר. כלומר אם אנחנו יודעים כי סדרה שואפת לאפס למשל, לא ייתכן שהיא שואפת גם ל-42. הוכחת המשפט הזה, כמו הוכחות רבות אחרות, מתבססת על הנחה בשלילה - אנו מתחילים את ההוכחה בהנחה כי משהו הוא נכון - מבצעים פעולות מתמטיות שאנחנו יודעים כי הן נכונות, ומגיעים לסתירה. כיוון שכל מה שעשינו בדרך פרט להנחה המקורית היה נכון - סימן שההנחה שגויה, הנקודה הבעייתית היא לנסח את ההנחה כך שעל ידי ההוכחה כי ההנחה שגויה יתברר כי המשפט נכון.
 
דבר נוסף שעשינו בתחילת ההוכחה היה להגיד "נניח בלי הגבלת הכלליות". משמעות הניסוח הזה היא שעומדים לפנינו שני מצבים שונים, שהדרך להוכיח אותם היא זהה לחלוטין, למעט הסימנים פלוס (<math>+</math>) או מינוס (<math>-</math>), וקטן/גדול מ- (<math> < > </math>). בדרך כלל המשפט הזה יופיע בהוכחות שבהן אנחנו יודעים כי שני גדים שונים זה מזה אך לא יודעים מי יותר גדול (ואין זה משנה את התוצאה - אלא רק את הדרך להראות אותה) או במקרים בהם צריך לטפל בנפרד במספרים חיוביים ושליליים.
 
{{משימה|בהוכחת המשפט הנחנו בלי הגבלת הכלליות כי <math>\ M > L</math> כלומר ניתן היה לבצע את אותה ההוכחה עם שינויי סימן וכיוון גם עבור <math>\ M < L</math>. נסח את ההוכחה המדוייקת עבור המקרה הזה.}}
 
{{משפט|תוכן=יהיו <math>\ a_n , b_n</math> שתי סדרות. אם <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math> וקיימים שני מספרים שלמים <math>\ n_0, p</math> כך שלכל <math>\ n > n_0</math> מתקיים <math>\ b_n = a_{n+p}</math> אזי גם <math>\lim_{n \to \infty}b_n = L</math>
161

עריכות