חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 36:
הוכחה זו עלולה להראות מעט סתומה בתחילה, ולכן נתעמק במשפט ובהוכחה. המשפט טוען כי אם ידוע לנו כי סדרה מסויימת שואפת לגבול מסויים - לא ייתכן כי אותה הסדרה תשאף גם לגבול אחר. כלומר אם אנחנו יודעים כי סדרה שואפת לאפס למשל, לא ייתכן שהיא שואפת גם ל-42. הוכחת המשפט הזה, כמו הוכחות רבות אחרות, מתבססת על הנחה בשלילה - אנו מתחילים את ההוכחה בהנחה כי משהו הוא נכון - מבצעים פעולות מתמטיות שאנחנו יודעים כי הן נכונות, ומגיעים לסתירה. כיוון שכל מה שעשינו בדרך פרט להנחה המקורית היה נכון - סימן שההנחה שגויה, הנקודה הבעייתית היא לנסח את ההנחה כך שעל ידי ההוכחה כי ההנחה שגויה יתברר כי המשפט נכון.
דבר נוסף שעשינו בתחילת ההוכחה היה להגיד "נניח בלי הגבלת הכלליות". משמעות הניסוח הזה היא שעומדים לפנינו שני מצבים שונים, שהדרך להוכיח אותם היא זהה לחלוטין, למעט הסימנים פלוס (<math>+</math>) או מינוס (<math>-</math>), וקטן
ההוכחה עצמה התבססה על ההגדרה הראשונה של הגבול, ואם ננסח אותה בלשון מעט פחות מתמטית - אם הסדרה מתכנסת לגבול מסויים, ואנחנו רוצים להוכיח כי היא אינה מתכנסת למספר אחר נבחר סביבה בגודל מחצית ההפרש בינהם. הבחירה הזו יוצרת הפרדה בין הסביבה של הגבול הידוע לסביבה של המספר החדש - וכיוון שאנחנו יודעים איפנה נמצאים אינסוף מאברי הסדרה (בסביבת הגבול הידוע) לא ייתכן כי הם נמצאים בסביבת המספר החדש - ולכן הוא אינו גבול של הסדרה.
{{משימה|בהוכחת המשפט הנחנו בלי הגבלת הכלליות כי <math>\ M > L</math> כלומר ניתן היה לבצע את אותה ההוכחה עם שינויי סימן וכיוון גם עבור <math>\ M < L</math>. נסח את ההוכחה המדוייקת עבור המקרה הזה.}}
|