חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
סדרה מתכנסת היא חסומה, וסדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 52:
גם המשפט הזה עלול להראות לא ברור, אך הוא משפט חשוב ביותר - ולמעשה גם פשוט ביותר. המשפט הזה בעצם אומר שאם סדרה מסויימת מתכנסת לגבול מסויים, וסדרה אחרת זהה לסדרה הראשונה החל ממקום מסויים - גם הסדרה השנייה מתכנסת לאותו גבול. או לחילופין - אם לוקחים סדרה מתכנסת, מוסיפים לה מספר סופי של איברים, מחסירים ממנה מספר סופי של איברים, ומשנים בה מספר סופי של איברים - זה לא ישפיע על הגבול שלה. הסיבה שהמשפט הזה נכון היא פשוטה - בהתכנסות של סדרה אנחנו לא מסתכלים על האיברים הראשונים בסדרה, למעשה אנחנו לא מסתכלים על אף איבר בסדרה שניתן להצמיד לו מספר - אנחנו מסתכלים מה קורה לאברי הסדרה כשאנחנו מתקדמים לעבר האינסוף, ולכן שינוי שנעשה גם באיבר המליון, המליארד או ה[[w:גוגול|גוגול]] הוא זניח, ולא משפיע על הגבול. עם זאת יש לשים לב שמספר האיברים שאנו משנים בסדרה חייב להיות סופי, אפשר להסיר את 17 האיברים הראשונים, להחליף את האיבר ה42 ב-33 ולהוסיף במקום המליון ואחד את המספר <math>\pi</math> - והגבול של הסדרה לא ישתנה, אבל אם למשל נוסיף את המספר 2 אחרי כל איבר עשירי - הרי ששינינו אינסוף איברים, והמשפט כבר לא יכול לעזור לנו לחשב את הגבול של הסדרה החדשה.
לדוגמא, נתונה הסדרה הבאה -{{ש}}
<math>\ \left\{ a_n \right\} = 17 , 42 , \varpi , 103, -55.3 , 1 , \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , \frac{1}{4} , \frac{1}{5} \dots</math>{{ש}}
זו היא למעשה הסדרה <math>\ b_n = \frac{1}{n}</math> שהוספנו לה 5 איברים בתחילתה. אבל כיוון שמהאיבר השישי והלאה הסדרות זהות גם הגבולות שלהן זהים, וכיוון שכבר ראינו ש <math>\ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0</math> אז לפי המשפט מתקיים גם <math>\ \lim_{n \to \infty} a_n = 0</math>.
{{משפט|תוכן=
אם סדרה <math>\ \left\{a_n \right\}</math> מתכנסת אזי היא חסומה
{{הוכחה|
נתון כי הסדרה <math>\ \left\{a_n \right\}</math> מתכנסת. יהא <math>\ L</math> הגבול של הסדרה ויהא <math>\ 0 < \varepsilon = 1</math>, כיוון שהסדרה מתכנסת קיים <math>\ N</math> כך שלכל <math>\ n> N</math> מתקיים -
<center><math>\ \left| a_n - L \right| < \varepsilon \Rightarrow -\varepsilon < a_n -L < \varepsilon \Rightarrow L - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon \Rightarrow L-1 < a_n < L+1</math></center>
נסתכל על קבצות האיברים בסדרה המקיימים <math>\ n \le N</math> כיוון ש<math>\ N</math> הוא מספר נתון מדובר בקבוצה סופית, נסמן את המספר הגדול ביותר בקבוצה זו ב-<math>\ M</math> ואת האיבר הקטן ביותר ב<math>\ m</math>.
כל אברי הסדרה המקיימים <math>\ n \le N</math> מקיימים <math>\ a_n \le M</math> ויתר אברי הסדרה מקיימים <math>\ a_n < L+1</math> ולכן הסדרה חסומה מלעיל על ידי <math>\ max \left\{ M, L + 1 \right\}</math>.
כל אברי הסדרה המקיימים <math>\ n \le N</math> מקיימים <math>\ a_n \ge m</math> ויתר אברי הסדרה מקיימים <math>\ a_n > L-1</math> ולכן הסדרה חסומה מלרע על ידי <math>\ min \left\{ M, L + 1 \right\}</math>.
הראנו כי הסדרה חסומה מלעיל ומלרע ולכן הסדרה חסומה.
}}}}
{{משפט|תוכן=
| |||