חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים: הבדלים בין גרסאות בדף

מ
אין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
}}}}
 
גם המשפט הזה עלול להראות לא ברור, אך הוא משפט חשוב ביותר - ולמעשה גם פשוט ביותר. המשפט הזה בעצם אומר שאם סדרה מסויימת מתכנסת לגבול מסויים, וסדרה אחרת זהה לסדרה הראשונה החל ממקום מסויים - גם הסדרה השנייה מתכנסת לאותו גבול. או לחילופין - אם לוקחים סדרה מתכנסת, מוסיפים לה מספר סופי של איברים, מחסירים ממנה מספר סופי של איברים, ומשנים בה מספר סופי של איברים - זה לא ישפיע על הגבול שלה. הסיבה שהמשפט הזה נכון היא פשוטה - בהתכנסות של סדרה אנחנו לא מסתכלים על האיברים הראשונים בסדרה, למעשה אנחנו לא מסתכלים על אף איבר בסדרה שניתן להצמיד לו מספר - אנחנו מסתכלים מה קורה לאברי הסדרה כשאנחנו מתקדמים לעבר האינסוף, ולכן שינוי שנעשה גם באיבר המליון, המליארד או ה[[w:גוגול|גוגול]] הוא זניח, ולא משפיע על הגבול. עם זאת יש לשים לב שמספר האיברים שאנו משנים בסדרה חייב להיות סופי, אפשר להסיר את 17 האיברים הראשונים, להחליף את האיבר ה42 ב-33 ולהוסיף במקום המליון ואחד את המספר <math>\piPi</math> - והגבול של הסדרה לא ישתנה, אבל אם למשל נוסיף את המספר 2 אחרי כל איבר עשירי - הרי ששינינו אינסוף איברים, והמשפט כבר לא יכול לעזור לנו לחשב את הגבול של הסדרה החדשה.
 
לדוגמא, נתונה הסדרה הבאה -{{ש}}
<math>\ \left\{ a_n \right\} = 17 , 42 , \varpiPi , 103, -55.3 , 1 , \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , \frac{1}{4} , \frac{1}{5} \dots</math>{{ש}}
זו היא למעשה הסדרה <math>\ b_n = \frac{1}{n}</math> שהוספנו לה 5 איברים בתחילתה. אבל כיוון שמהאיבר השישי והלאה הסדרות זהות גם הגבולות שלהן זהים, וכיוון שכבר ראינו ש <math>\ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0</math> אז לפי המשפט מתקיים גם <math>\ \lim_{n \to \infty} a_n = 0</math>.
 
161

עריכות