חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 75:
כעת אם נתבונן על סדרה שאלף איברים הראשונים הם ערכים אקראיים, והחל מהאיבר האלף ואחד כל האיברים הם 2, ונרצה לדעת האם הסדרה חסומה נוכל לומר על פי המשפט הקודם כי היא מתכנסת לאותו גבול כמו הסדרה <math>\ a_n = 2</math> ועל פי המשפט הראשון בעמוד הזה כי הסדרה <math>\ \left\{ a_n \right\}</math> מתכנסת ל-2. לכן כיוון שמדובר בסדרה מתכנסת היא בהכרח חסומה, בלי לתות בערכים של אלף הערכים הראשונים.
{{הערה|
המשפט לא עובד בכיוון ההפוך, כלומר סדרה חסומה לא בהכרח מתכנסת, למשל הסדרה - <math>\ a_n = \left(-1 \right)^n</math> חסומה מלעיל על ידי <math>\ 1</math> וחסומה מלרע על ידי <math>\ -1</math> אבל איננה מתכנסת לגבול. (ראינו הוכחה דומה עבור הסדרה <math>\ 1, 0, 1, 0, 1,0 , \dots</math>).
}}
{{משפט|תוכן=
אם סדרה <math>\ \left\{a_n \right\}</math> היא מונוטונית וחסומה אזי הסדרה מתכנסת
{{הוכחה|
| |||