חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הגדרת הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף

{{חשבון אינפיניטסימלי|פרק=גבולות}}

{{הגדרה|תוכן=

מספר ממשי <math>\ L </math> ייקרא הגבול של סדרה <math>\ a_n</math> אם בכל סביבה של <math>\ L</math> נמצאים כל אברי הסדרה פרט למספר סופי של איברים

 

ראינו איך ניתן להראות מהגדרת הגבול כי סדרות מסויימות אינן מתכנסות לגבול, אך קשה יותר להראות באמצעות ההגדרה כי סדרה מסויימת מתכנסת, על מנת לעשות זאת נשתמש בניסוח שונה מעט של הגדרת הגבול -

{{הגדרה|תוכן=

הגבול של סדרה, <math>\ L = \lim_{n \to \infty}a_n</math> קיים אם לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>\ N</math> כך שלכל <math>\ n > N </math> מתקיים - <math>\ \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math>

}}

הגדרה זו שקולה להגדרת הגבול. בהגדרה המקורים נדרש כי לכל סביבה של <math>\ L</math> יהיו כל אברי הסדרה פרט למספר סופי של איברים. בהגדרה זו הסביבה מוגדרת במפורש על ידי <math> \varepsilon</math>, ונדרש שהחל מ-<math>\ N</math> מסויים כל אברי הסדרה יהיו בסביבה זו. לכן קיימים לכל היותר <math>\ N</math> איברים שאינם נמצאים בסביבה הרצויה, ומכיוון שההגדרה דורשת קיומו של <math>\ N</math> כזה מספרם הוא סופי. נראה כי הדרישה כי <math>\ a_n</math> יהיה בסביבה <math>\ \varepsilon</math> של <math>\ L</math> זהה לדרישה כי <math>\ \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math>

 

 

בעמוד זה הצגנו את מושג הגבול באופן כללי, הגדרנו את הגבול באופן פורמלי והצגנו דוגמאות בסיסיות לסדרות מתבדרות ומתכנסות. כפי שציינו בתחילת הפרק ההגדרה של מושג הגבול אינה אינטואיטיבית ופעמים רבות מהווה מכשול בלימודי החשבון האינפיניטסימלי, מומלץ לעבור שוב על ההגדרה, הדוגמאות ובמיוחד על האופן שבו השתמשנו בהם לפני שממשיכים לתת הפרק הבא, שכן הוא מבוסס על ההגדרה וייתן לנו כלים נוספים לנתח התכנסות של סדרות.

 

==התבדרות של סדרה==