חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הגדרת הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Costello (שיחה | תרומות)
Costello (שיחה | תרומות)
שורה 55:
{{הוכחה|
'''כיוון אחד'''
:: נתון כי- <math>\ \lim_{n \to \infty} a_n = L</math>
:: צ"ל - לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ N</math> כך שלכל <math>\ n_1 , n_2 > N </math> יתקיים - <math>\ \left| a_{n_1} - a_{n_2} \right| < \varepsilon</math>
<math>\ \lim_{n \to \infty} a_n = L</math> אזי לכל <math>\ \varepsilon > 0</math>, ובפרט לכל <math>\ \varepsilon = \frac{\varepsilon_0}{2} >0</math> קיים <math>\ N</math> כך שלכל <math>\ n > N</math> מתקיים <math>\ \left|a_n - L\right| < \varepsilon</math> אזי לכל <math>\ n_1, n_2 > N</math> מתקיים -
<center><math>\ \left|a_n_1 - a_n_2\right| = \left|a_n_1 - L + L - a_n_2\right| le \left|a_n_1 - L\right| + \left|L - a_n_2| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon</math></center>
'''כיוון שני'''
}}}}